Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

112 CAPITOLO 5. TEOREMA DI CLASSIFICAZIONE
Per r = 2 abbiamo un sottocaso del precedente (Dp) ; per r = 3 abbiamo Γ = E6; per r = 4 si ha che
Γ coincide col grafico di Coxeter E7 ed infime per r = 5 abbiamo Γ = E8.
Abbiamo allora visto che i grafici di Coxeter sono dei grafici Γ e viceversa. Dunque i grafici di Coxeter
sono tutti e soli quelli dell’enunciato del teorema, con Cp = Bp. Se poi passiamo a considerare i
diagrammi di Dynkin, come detto solo Bp = Cp ha digramma di Dynkin diverso da quello di Coxeter
e le possibilità sono proprio Bp e Cp.
L’ultima parte della dimostrazione la dedichiamo ad un aspetto che fin qui non abbiamo portato
alla luce : per ogni diagramma elencato nell’enunciato esiste effettivamente un sistema di radici con
quel diagramma di Dynkin? La risposta risulta cruciale per la validità della classificazione, ossia per
poter dire che quelli elencati sono grafici di Coxeter, altrimenti tutto quanto fatto perderebbe di senso
(quello che ci accingiamo a dimostare lo abbiamo implicitamente dato per buono nella parte precedente
della dimostrazione).
Da questo momento con ɛ1, . . . , ɛp denotiamo la base canonica (ortonormale) di R p , nel quale con-
sideriamo il prodotto scalare canonico. Con I indichiamo l’insieme di tutte le possibili combinazioni
lineari, con coefficienti interi, dei vettori ɛ1, . . . , ɛp.
(Ap) In R p+1 prendiamo il vettore non nullo ɛ1 + ɛ2 + · · · + ɛp + ɛp+1 e denotiamo con E il sottospazio
ortogonale a questo vettore. Per costruzione E è un iperpiano, ossia un sottospazio vettoriale di R p+1
avente dimensione p. Anche E possiamo considerarlo uno spazio euclideo, munendolo del prodotto
scalare ereditato da R p+1 (ossia la restrizione del prodotto scalare canonico). Sia I ′ l’intersezione fra
Φ ⊂ I ′ l’insieme dei vettori di I ′ aventi norma al quadrato uguale a 2. Vogliamo dimostrare che Φ è
un sistema di radici di E.
Prima di tutto cerchiamo di capire che forma hanno i vettori che compongono Φ.
Se α ∈ Φ allora esso è anche un elemento di I e dunque è della forma :
p+1
α =
i=1
con gli ai interi. Inoltre devono essere verificate la condizione di ortogonalità e quella sulla norma :
p+1
< α,
j=1
p+1
ɛj >=<
i=1
p+1
aiɛi,
j=1
ɛj >=
p+1
i,j=1
aiɛi
(5.23)
ai < ɛi, ɛj >= a1 + a2 + · · · + ap + ap+1 = 0 (5.24)
< α, α >= a 2 1 + a 2 2 + · · · + a 2 p + a 2 p+1 = 2 (5.25)
La seconda relazione ci dice che nessuno degli interi ai può avere valore assoluto maggiore di 1 (in
quanto se così non fosse, il quadrato dell’elemento sarebbe maggiore di 2 e gli dovremmo soommare