Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

96 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
che tutti i vertici siano legati da perlomeno un filo ad almeno un altro vertice ma esista un sottoinsieme
di radici semplici {α1, . . . , αh} non aventi nessuna connessione con i restanti vertici {αh+1, . . . , αn} =
{βh+1, . . . , βn} ( n è la dimensione di E). Anche in questo caso ∆ sarebbe riducibile in quanto
{α1, . . . , αh} e {βh+1, . . . , βn} sono non vuoti, con intersezione nulla e mutuamente ortogonali.
Viceversa, supponiamo che il diagramma di Dynkin di Φ sia connesso. Se, per assurdo, ∆ fosse
riducibile, ossia ∆ = ∆1 ∩ ∆2, avremmo i vertici di ∆1 non connessi a nessuno dei vettori di ∆2. Ma
in questo modo viene contraddetta la connessione del diagramma di Dynkin.
In generale i diagrammi di Dynkin sono costituiti da un un numero finito t di sottodiagrammi connessi
(a questo gruppo di vertici si applica la definizione data per la connessione dei diagrammi di Dynkin).
Se il diagramma di Dynkin è connesso allora t = 1 altrimenti abbiamo t ≥ 2.
Da questo momento fissiamo un sistema di radici Φ nello spazio euclideo E e una sua base ∆. La
partizione in sottodiagrammi connessi (la possiamo sempre fare, il caso limite è quello in cui ci sia un
sottografico connesso per ogni vertice) determina una partizione di ∆, ossia :
∆ = ∆1 ∪ ∆2 . . . ∆t
(4.89)
con ∆i che contiene i vertici appartenenti all’i-esimo sottodiagramma connesso. I ∆i sono non vuoti,
a due a due disgiunti e mutuamente ortogonali.
Sia Ei il sottospazio vettoriale di E generato da ∆i. Ovviamente la somma E1 +E2 +· · ·+Et di questi
sottospazi coincide con E. Se prendiamo Ei ed Ej (con i = j) la loro intersezione è costituita dal
solo vettore nullo. Infatti un vettore che appartiene all’intersezione si scrive sia come combinazione
lineare dei vettori di ∆i, sia come combinazione lineare dei vettori di ∆j. L’uguaglianza fra queste
due combinazioni e l’indipendenza dei vettori di ∆i ∪ ∆j impone che tutti i coefficienti delle due
combinazioni lineari siano nulli. Dunque abbiamo :
con Ei ortogonale ad Ej se i = j.
E = E1 ⊕ E2 ⊕ · · · ⊕ Et
(4.90)
Denotiamo con Φi l’insieme delle radici di Φ contenute in Ei, con i ∈ {1, . . . , t}. Ognuno degli Ei è
uno spazio euclideo con il prodotto scalare indotto. Vogliamo dimostrare che Φi è un sistema di radici
in Ei. I vettori di Φi sono in numero finito (Φi è un sottoinsieme di Φ che è costituito da un numero
finito di vettori), generano Ei (abbiamo ∆i ⊂ Φi e nessuno dei vettori è nullo (il vettore nullo non è
contenuto in Φ). Quindi la condizione R1 è verificata. Ma anche la condizione R4 risulta soddisfatta
: se α e β sono due radici di Φi allora (α, β) è un intero in quanto α e β sono prima di tutto radici di
Φ.
Se α ∈ Φi allora anche −α appartiene a Φi e quest’ultimo insieme non contiene nessun altro multiplo di
α (perchè in Φ stesso non ci sono altri multipli di α). Inoltre l’iperpiano P ′ α di Ei (iperpiano associato
ad α ∈ Ei) è un sottospazio di Pα essendo in esso contenuto. La riflessione σ ′ α prende un vettore