Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.5. BASI DI SISTEMI DI RADICI 85
Se poi G agisce a sinistra sugli insiemi A1, A2 tramite le azioni ϕ1, ϕ2 rispettivamente ed inoltre
f : A1 → A2 è tale che f(g · a) = f(g) · a per ogni g ∈ G, a ∈ A1 diremo che f è una mappa
G-equivariante.
Dato un sistema di radici Φ nello spazio euclideo E possiamo considerare due azioni del gruppo di
Weyl W : una sulle camere di Weyl e l’altra sulle basi di Φ.
Partiamo dall’azione sulle camere di Weyl. Alla camera di Weyl Υ(γ) e all’automorfismo σ ∈ W ,
associamo la camera di Weyl Υ(σ(γ)). Dobbiamo verificare, primariamente, che l’applicazione consid-
erata è ben definita. Innanzitutto osserviamo che anche σ(γ) è un elemento regolare. Come già visto
precedentemente gli automorfismi di W conservano il prodotto scalare e mandano Φ in sè. Allora ogni
radice α è della forma σ(β) con β ∈ Φ e quindi < σ(γ), α > = < σ(γ), σ(β) > = < γ, β > = 0 : il
prodotto scalare di σ(γ) per una arbitraria radice è non nullo, ossia dalla regolarità di γ segue quella
di σ(γ). Se poi γ, γ ′ sono due elementi regolari che stanno nella stessa camera di Weyl, anche le loro
immagini tramite σ stanno nella stessa camera di Weyl. Infatti se α = σ(β) appartiene a Φ + (σ(γ)),
essa è contenuta anche in Φ + (σ(γ ′ )) poichè < σ(γ), α > = < σ(γ), σ(β) > = < γ, β > quindi, dato
che Φ + (γ) = Φ + (γ ′ ), abbiamo che anche < σ(γ ′ ), α > = < σ(γ ′ ), σ(β) > = < γ ′ , β > è strettamente
positivo. Analogamente si mostra il viceversa.
Quanto appena visto ci dice che σ(Υ(γ)) ⊆ Υ(σ(γ)) e, considerando σ −1 ovviamente si ha anche
Υ(σ(γ)) ⊆ σ(Υ(γ)), ossia σ(Υ(γ)) = Υ(σ(γ)). Che l’applicazione definita rispetta le condizioni per
essere un’azione di gruppo è banale.
Passiamo all’azione sulle basi : alla base ∆ di Φ e a σ ∈ W associamo σ(∆).
Dato che σ è un automorfismo, σ(∆) è una base di E. Inoltre una generica radice α è uguale a σ(β) con
β ∈ Φ. Ma β la scriviamo come combinazione lineare, con coefficienti tutti non positivi o non negativi,
degli elementi di ∆. Dunque α conserva i coefficienti di β ma si scrive come combinazione lineare
degli elementi di σ(∆). Abbiamo quindi mostrato che σ(∆) soddisfa le condizioni B1 e B2. Come
nel caso precedente, l’applicazione definita soddisfa in modo ovvio le condizioni per essere un’azione.
Inoltre, dato un vettore regolare γ ∈ E, si ha σ(∆(γ)) = ∆(σ(γ)). Per verificare questa relazione
basta accertarsi che i prodotti scalari di σ(γ) con gli elementi di σ(∆(γ))) siano strettamente positivi
(in accordo col passo 5 del dimostrazione del Teorema 4.5.4). Ed infatti < σ(γ), σ(α) > = < γ, α > è
strettamente positivo per ogni radice α ∈ ∆(γ).
Abbiamo visto che esiste una bigezione fra basi e camere di Weyl : sia f che g sono W equivarianti.
Pertiamo da g : sia σ un generico automorfismo di W e ∆(γ) un’arbitraria base di Φ. Allora abbiamo
che σ(∆(γ)) = ∆(σ(γ)), la cui immagine tramite g è Υ(σ(γ)). Viceversa, g manda la base ∆(γ) nella
camera di Weyl Υ(γ) ed inoltre σ(Υ(γ) = Υ(σ(γ)). Per f prendiamo un automorfismo σ ∈ E e una
camera di Weyl Υ(γ). L’azione di W sulle camere di Weyl associa Υ(σ(γ)) alla camera di Weyl Υ(γ).
L’immagine tramite f di Υ(σ(γ)) è la base ∆(σ(γ)) ; f(Υ(γ) = ∆(γ) e l’azione di σ su ∆(γ) restituisce