Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

118 CAPITOLO 5. TEOREMA DI CLASSIFICAZIONE
con i segni che possono essere scelti in modo indipendente. Allora Φ è un sistema di radici in E, avente
come base
∆ = { 1
2 (ɛ1 + ɛ8 − (ɛ2 + · · · + ɛ7)), ɛ1 + ɛ2, ɛ2 − ɛ1, ɛ3 − ɛ2, ɛ4 − ɛ3, ɛ5 − ɛ4, ɛ6 − ɛ5, ɛ7 − ɛ6} (5.43)
e come diagramma di Dynkin E8.
Consideriamo il sottospazio vettoriale E ′ ⊂ E generato dai primi sette elementi di ∆ : chiamiamo ∆ ′
l’insieme di questi sette vettori e indichiamo con Φ ′ l’insieme delle radici di Φ contenute in E ′ . Con il
prodotto scalare canonico indotto da E anche E ′ è uno spazio euclideo. Vogliamo mostrare che Φ ′ è
un sistema di radici in E ′ e che ∆ ′ è una base di Φ ′ .
Dato che Φ ′ è un sottoinsieme di Φ, esso è finito e non contiene il vettore nullo (in quanto Φ è finito
e non ammette il vettore nullo). Inoltre i vettori di ∆ ′ ⊂ Φ ′ , per costruzione, generano E ′ . Quindi Φ ′
soddisfa la condizione R1.
Se α ∈ Φ è un radice contenuta in E ′ , allora anche il suo opposto appartiene ad E ′ (dato che E ′ è
un sottospazio vettoriale e quindi chiuso rispetto al prodotto per scalare) e nessun altro multiplo di
α giace in E ′ (gli unici multipli di α in Φ sono ±α dunque non ne possiamo avere altri neanche in
Φ ′ ⊂ Φ). Anche la condizione R2 risulta soddisfatta.
Se α, β appartengono a Φ ′ allora esse sono radici di Φ ed inoltre (α, β) e (β, α) sono interi (queste quan-
tità non cambiano se restringiamo l’attenzione ad E ′ in quanto il prodotto scalare che consideriamo
in esso è semplicemente la restrizione del prodotto scalare canonico) : la condizione R4 è verificata.
Rimane la condizione R3.
Consideriamo sempre due vettori α, β ∈ Φ ′ e ricordiamo che σα(β) è uguale ad β − (β, α)α, la quale è
una radice di Φ. Ci chiediamo se questa radice appartiene ad E ′ oppure no. La risposta è positiva in
quanto sia β che −(β, α)α sono combinazione lineare dei vettori di ∆ ′ e dunque anche la loro somma
lo è.
Possiamo allora dedurre che Φ ′ è un sistema di radici di E ′ . Per costruzione, ∆ ′ è una base in E ′ .
Prendiamo una radice α ∈ Φ ′ : essa si scrive come combinazione lineare dei vettori di ∆ ′ . Ma α è
anche una radice di Φ ed essa si scrive come combinazione lineare dei vettori di ∆ con coefficienti interi
tutti non positivi oppure non negativi. Evidentemente, quest’ultima combinazione lineare ha l’ultimo
coefficiente nullo (in quanto ∆ ′ ⊂ ∆ e rispetto ad una base ogni vettore si scrive in modo unico come
combinazione lineare dei vettori di base) e quindi le componenti di α rispetto a ∆ ′ sono intere e tutte
non positive oppure non negative. Dunque ∆ ′ è una base di Φ ′ ed il digramma di Dynkin di Φ ′ coincide
con quello di Φ privato del vertice rappresentante l’ultimo vettore di ∆. Abbiamo infatti già osservato
che le quantità (α, β) e (β, α) non cambiano se consideriamo α, β come radici semplici di ∆ ′ oppure
di ∆.
Il diagramma di Dynkin ottenuto è proprio il diagramma E7 per cui da un sistema di radici avente