Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

74 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
• iv) cos 2 (θ) = 3
4
• v) cos 2 (θ) = 4
4
Se escludiamo la possibilità che α sia un multipli di β, il quinto caso non lo dobbiamo considerare in
quanto implica che α e β sono dipendenti.
Osservando che il rapporto fra (β, α) e (α, β)
(β, α)
(α, β)
= 2 < β, α >
< α, α >
< β, β >
2 < β, α >
= β 2
α 2
(4.44)
è il quadrato del rapporto delle norme di β e α e ipotizzando β ≥ α , analizziamo i singoli casi.
(i) cos 2 (θ) = 0
L’angolo θ è necessariamente uguale a π
2 . Perciò abbiamo cos(θ) = 0 e quindi (β, α) = (α, β) = 0.
Il rapporto fra le norme delle due radici risulta indeterminato (abbiamo 0 su 0).
(ii) cos 2 (θ) = 1
4
Abbiamo cos(θ) = ± 1
2
Per θ = π
3 abbiamo:
e dunque θ = π
3
oppure θ = 2π
3 .
α α
(α, β) = 2 cos(θ) = = 1 (4.45)
β β
in quanto α / β deve essere un intero e β ≥ α . Ne consegue :
e quindi
In maniera analoga, per θ = 2π
3
e quindi
(iii) cos2 (θ) = 2 1
4 = 2
Abbiamo cos(θ) = ± 1
√
√ 2
= ±
2 2
Per θ = π
4 abbiamo:
β β
(β, α) = 2 cos(θ) = = 1 (4.46)
α α
si ha:
β 2 = 1 (4.47)
α 2 α
α
(α, β) = 2 cos(θ) = − = −1 (4.48)
β β
β
β
(β, α) = 2 cos(θ) = − = −1 (4.49)
α α
e dunque θ = π
4
β 2 = 1 (4.50)
α 2 oppure θ = 3π
4 .
β
(β, α) = 2
α cos(θ) = √ β
2 = 2k (4.51)
α
con k intero positivo, in quanto dobbiamo avere β / α = k √ 2 (potremmo pure considerare
β / α = k √ 2 ma è equivalente). Ne consegue :
α α √
(α, β) = 2 cos(θ) = 2 =
β β
√ 2
k √ 2
= 1
k
(4.52)