Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.2. SISTEMI DI RADICI 61
un numero fnito di elementi.
Il gruppo di Weyl è costituito da auotomorfismi di E che conservano il prodotto scalare, in quanto
ogni elemento è composizione di un numero finito di riflessioni le quali, come visto, conservano il
prodotto scalare. Poichè gli automorfismi di E che conservano il prodotto scalare sono un sottogruppo
di GL(E), che denotiamo col simbolo O(E), si ha W ⊂ O(E).
Lemma 4.2.1. Sia E uno spazio euclideo e Φ un suo sottoinsieme finito che lo genera.
Supponiamo che le tutte le riflessioni σα, al variare di α ∈ Φ, mandino Φ in Φ. Se σ è un automorfismo
di E che manda Φ in Φ, fissa i punti di un iperpiano P ⊂ E e manda un vettore non nullo α ∈ Φ nel
suo opposto allora σ = σα e P = Pα. Ovviamente α non appartiene a P altrimenti avremmo α = 0.
Dimostrazione. Fissato il vettore non nullo α dell’enunciato, consideriamo l’automorfismo τ = σ ◦ σα.
L’inversa di σα è essa stessa per cui τ = σ ◦ σα = σ ◦ σ −1
α . Allora τ(Φ) = σ(σα(Φ)) = σ(Φ) = Φ
ed inoltre τ(α) = σ(σα(α) = σ(−α) = α. Ne consegue che τ agisce come l’identità nel sottospazio
Rα = A ⊂ E generato da α. Inoltre, se v, w sono due vettori di E equivalenti rispetto alla relazione di
equivalenza modulo A, ossia v − w = aα con a ∈ R, abbiamo τ(v − w) = τ(v) − τ(w) = −aα. Allora
consideriamo :
¯τ : E
Rα
→ E
Rα
[v] ↦→ [τ(v)]
Prima di tutto mostriamo che tale applicazione è ben definita :
v ∽ w ⇒ v − w = aα ⇒ [τ(v)] − [τ(w)] = [τ(v) − τ(w)] = [τ(v − w)] = [−aα] = 0 (4.18)
ed inoltre è l’identità. Infatti abbiamo E = P ⊕ A e dunque il vettore v ∈ E lo possiamo scrivere come
v = v ′ + aα con v ′ ∈ P e a numero reale. Allora v e τ(v) sono equivalenti, ossia v − σ(v) + 2
α =
= v ′ + aα − v ′ + aα + 2
α appartiene ad A.
L’applicazione ¯τ è lineare (su E
Rα consideriamo la struttura di spazio vettoriale quoziente) ed avente
1 come unico autovalore. Ne consegue che anche τ ha 1 come unico autovalore. Infatti se λ è un
autovalore di τ allora esiste un vettore non nullo v ∈ E ( lo consideriamo non appartenente a Rα)
perchè in quel caso si ha banalmente λ = 1) tale che τ(v) = λv. Ne consegue :
cioè λ è anche un autovalore di ¯τ e quindi λ = 1.
¯τ([v]) = [τ(v)] = [λv] = λ[v] (4.19)
Da questo deduciamo che il polinomio caratteristico di τ è (T −1) l , con l dimensione di E. Il polinomio
minimo pτ (T ) di τ divide il polinomio caratteristico di τ, ossia (T − 1) l .
Essendo Φ finito, non tutti i vettori β, τ(β), ..., τ k (β) possono essere distinti se β ∈ Φ e k ≥ card(Φ), in