Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

2 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE
endomorfismi fij sono linearmente indipendenti.
Rimane da mostrare che essi formano un sistema di generatori. Prendiamo un generico endomorfismo
f ∈ End(V ), del quale sappiamo come agisce sugli elementi della base B :
f(b1) =
n
a1jbj ; f(b2) =
j=i
n
a2jbj ; ... ; f(bn) =
j=i
Consideriamo allora l’endomorfismo g = n
i,j=1 aijfij. Se g ed f associano ad ogni vettore di base la
stessa immagine, allora essi sono uguali. Si ha :
g(bk) =
n
(aijfij)(bk) =
i,j=1
per ogni k appartenente a {1, ..., n}.
n
(akjfkj)(bk) =
j=1
n
j=i
anjbj
(1.4)
n
akjbj = f(bk) (1.5)
Su End(V ) è possibile definire anche un prodotto che lo dota della struttura di anello non com-
mutativo. L’operazione binaria in questione è la composizione funzionale : la composizione di due
endomorfismi di V è ancora un endomorfismo di V , l’identità di V è un endomorfismo e funge da
elemento neutro, la composizione funzionale è associativa.
Rimangono da dimostrare la distribuitività a destra e a sinistra rispetto alla somma. Esse conseguono
da un risultato generale : dati tre endomorfismi f, g, h ∈ End(V ) e uno scalare a ∈ F , abbiamo
(f ◦ (g + h))(v) = f((g + h)(v)) = f(g(v) + h(v)) = f(g(v)) + f(h(v)) = (f ◦ g + f ◦ h)(v) (1.6)
((f + g) ◦ h)(v) = (f + g)(h(v)) = f(h(v)) + g(h(v)) = (f ◦ h + g ◦ h)(v) (1.7)
(af ◦ g)(v) = (af)(g(v)) = a(f(g(v))) = a((f ◦ g)(v))) = (a(f ◦ g))(v) = f(a g(v)) = (f ◦ ag)(v) (1.8)
per ogni vettore v ∈ V .
Definiamo su End(V ) un’altra operazione binaria nel modo seguente :
End(V ) × End(V ) → End(V )
j=i
(f, g) ↦→ [f, g] = f ◦ g − g ◦ f
La composizione e la combinazione lineare di endomorfismi di V è ancora un endomorfismo di V ,
dunque tale operazione è ben definita.
Vediamo alcune proprietà di cui essa gode.
Innanzitutto è bilineare dato che, presi f, g, h ∈ End(V ) e a, b ∈ F si ha :
[af + bg, h] = (af + bg) ◦ h − h ◦ (af + bg) = af ◦ h + bg ◦ h − h ◦ af − h ◦ bg = (1.9)
= a(f ◦ h) + b(g ◦ h) − a(h ◦ f) − b(h ◦ g) = a(f ◦ h − h ◦ f) + b(g ◦ h − h ◦ g) = a[f, h] + b[g, h]