Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

4.2. SISTEMI DI RADICI 65
R2 è verificata.
Prendiamo due generiche radici duali α v , β v . Allora :
σα v(βv ) = β v − 2 < βv , α v >
< α v , α v > αv = 2
β
4 < β, α > < α, α >
− 2
< β, β > < β, β >< α, α >
2
4 < α, α > 2
α
= (4.31)
< α, α >
β
< β, α >
1
β, α >
= 2 − 4
α = 2 (β − 2<
< β, β > < β, β >< α, α > < β, β > < α, α > α)
Ma β − 2
α è una radice di Φ e 2 1
(β − 2 α) la sua duale in quanto:
< β, α > β, α >
< β − 2 α, β − 2< α >= (4.32)
< α, α > < α, α >
< β, α >
β, α >
β, α >2
< β, β > −2 < β, α > −2< < β, α > +4<
< α, α > < α, α > < α, α >
Ne concludiamo che σα v manda Φv in sè e dunque vale anche la condizione R3.
Infine, se α v e β v sono due generiche radici duali, allora abbiamo :
(α v , β v ) = 2 < αv , β v >
< β v , β v >
4 < α, β > < β, β >
= 2
< α, α >< β, β >
2
4 < β, β >
Quindi abbiamo mostrato che anche R4 è soddisfatta.
< α, α >=< β, β >
α, β >
= 2< ∈ Z (4.33)
< α, α >
Inoltre esiste un isomorfismo naturale di W di W v (gruppo di Weyl del sistema duale di radici) :
W → W v
σα1 ◦ · · · ◦ σαk ↦→ σα v 1 ◦ · · · ◦ σα v k
Questa applicazione è banalmente un omomorfismo di gruppi la cui inversa è :
W v → W
σα v 1 ◦ · · · ◦ σα v k
↦→ σα1
◦ · · · ◦ σαk