Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

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106 CAPITOLO 5. TEOREMA DI CLASSIFICAZIONE (7) Γ non può contenere sottografici del tipo : Supponiamo che Γ contenga uno di questi sottografici. Allora per il passo 1 esso è il grafico del sottoinsieme ammissibile formato dai vertici del sottografico. Per quanto visto nel passo 6 possiamo rimpiazzare la catena semplice con un unico vertice ottenendo ancora il grafico di un insieme ammissibile. I grafici ottenuti sono della forma : fili. che è un assurdo in quanto contraddice il passo 4 dato che contengono un vertici da cui partono 4 (8) Mostriamo ora che ogni grafico Γ connesso è di una delle forme seguenti :
Abbiamo visto nel passo 5 che il grafico (ii) è l’unico grafico Γ connesso avente un vertice da cui partono 3 fili. Un grafico Γ connesso che contiene più di una coppia di vertici legati da 2 fili contiene un sottografico della forma Per dimostrare questa affermazione, partiamo da una coppia di vertici, ɛ1 e ɛ2, legati da 2 fili. Uno di essi (supponiamo ɛ2) deve essere legato con un filo ad un terzo vertice ɛ3 dato che Γ è connesso e contiene perlomeno 4 vertici per l’ipotesi fatta. Prendiamo un quarto vertice ɛ4 a cui i primi tre vertici sono collegati (deve succedere altrimenti Γ non sarebbe connesso). Esso può essere legato con due fili a ɛ3, e quindi abbiamo concluso, oppure essere legato con un filo a ɛ1 o ɛ3. Alla fine di questo passaggio possiamo avere due catene semplici (una con primo vertice ɛ1 e l’altra con primo vertice ɛ2) oppure una catena semplice (con primo vertice in ɛ1 oppure in ɛ2). Se ci sono solo 5 vertici, il quinto deve essere legato con due fili all’ultimo vertice di una delle catene semplici (con due fili non può essere legato, per 107
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI
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ii INTRODUZIONE le algebre di Lie r
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iv INDICE 4.8 La matrice di Cartan
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2 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA L
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10 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA
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18 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE (L2),
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20 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE Inolt
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22 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE Defin
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24 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE f : L
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26 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE massi
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28 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE
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30 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMIS
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Page 128: 122 BIBLIOGRAFIA
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