Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

96 5.3. Interpretação Geométrica
Seja |R| a área da região R. Passando ao limite quando |R| → 0,
temos
A
lim
|R|→0
′
A
A
= lim
|R|→0
′
|R|
A
=
|R|
��
1
lim |R|→0 K||xu × xv||dudv
|R|
��R
1
lim |R|→0 ||xu × xv||dudv
|R| R
= K||xu × xv||
||xu × xv||
= K,
na penúltima igualdade usamos o teorema do valor médio para integrais
duplas. �
Vale comentar que usamos a conversão de que a área de uma
região contida em uma vizinhança conexa V e a área de sua imagem
por ξ, ver equação (5.8), têm o mesmo sinal se K > 0 em V, e sinais
opostos se K < 0 em V. Sendo assim, o resultado acima também é
válido quando K(p) < 0.
5.3.1 Fórmula de Minkwoski Afim
Nesta subseção estendemos a conhecida fórmula de Minkwoski para
dados geométricos afins.
Teorema 5.8. [Fórmula de Minkwoski Afim] Seja Ω um domínio
no plano e seja S uma superfície parametrizada por σ(u, v) compacta
e convexa tal que S = σ(Ω). Consideremos uma variação
dessa superfície ao longo do vetor normal afim, isto é, σt(u, v) =
σ(u, v) + tξ(u, v), onde 0 ≤ t ≤ T . Então,
��
3 ��
2
T
V ol(U) = V ol(U) + T Ā(Ω) − T HdĀ + Kd
3 Ω
Ā,
onde U é a região limitada por σ(u, v), Ā é área afim da região Ω,
dĀ = d1/4dA é o elemento de área afim e U é a região limitada por
σt(u, v).
Ω