Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

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120 6.3. Desafios Atuais 6.3 Desafios Atuais Existem desafios tanto teóricos como práticos. Enquanto, dado uma curva desenhada no quadro, é simples descrever as propriedades Euclidianas da curva (por exemplo deduzir o sinal da curvatura), é muito menos intuitivo no caso das propriedades afins de uma superfície. O presente livro é um dos primeiros trabalhos a apresentar figuras de curvatura afim em superfícies não triviais. Seria talvez um primeiro passo para desenvolver um intuito maior dos invariantes afins, para considerar esses invariantes úteis para outras áreas da Matemática em vez de apenas um fim em si só. Além disso, um trabalho similar resta a fazer no caso projetivo, rico em aplicações porém pouco estudado do ponto de vista dos invariantes. Do lado prático, muitas aplicações reais em fotografia e filmagem 3d, usam projeções dos objetos geométricos para modelá-los. O processo de projeção é complexo, mas preservam os invariantes afins de objetos planos. Porém, a aquisição é ruidosa e envolve um processo de amostragem nos pixels da camera, o que dificulta o cálculo das curvaturas de forma robusta e invariante. Enquanto existem vários métodos de aproximação invariantes Euclidianos, como mínimos quadrados no espaço, ainda poucos foram desenvolvidos no caso afim. Maria e Thomas, Rio de Janeiro, 10 de maio de 2011.
Referências Bibliográficas [ASBH90] K. Arbert, W. Snyder, H. Burkhardt, and G. Hirzinger, Application of affine-invariant Fourier descriptors to recognition of 3-D objects, Transactions on Pattern Analysis an Machine Intelligence 12 (1990), no. 7, 640–647. [Ban67] T. Banchoff, Critical points and curvature for embedded polyhedra, Differential Geometry 1 (1967), 257–268. [BCM03] V. Borrelli, F. Cazals, and J.-M. M.-M. Morvan, On the angular defect of triangulations and the pointwise approximation of curvatures, Computer Aided Geometric Design 20 (2003), no. 6, 319 – 341. [Blo94] J. Bloomenthal, An implicit surface polygonizer, Graphics Gems IV (Boston) (P. Heckbert, ed.), Academic Press, Boston, 1994, pp. 324–349. [Buc83] S. Buchin, Affine differential geometry, Routledge, 1983. [BY98] J.-D. Boissonnat and M. Yvinec, Algorithmic geometry, Cambridge University Press, 1998. [Cal82] E. Calabi, Hypersurfaces with maximal affinely invariant area, American Journal of Mathematics 104 (1982), no. 1, 91–126.
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