Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 2. Geometria Euclidiana: Curvas 25
Vamos admitir que o vetor gradiente ∇f = (fx, fy) é não-nulo.
Podemos supor sem perda de generalidade que fy �= 0, então existe
um intervalo aberto J ⊂ R e uma função g : J → R tal que a curva
localmente é dada como um gráfico {(x, g(x)); x ∈ J}. Agora, pela
parte inicial sabemos como calcular os vetores tangentes e normais
no caso paramétrico, ou seja, temos as fórmulas dos elementos t e n.
Por um lado, observemos que tais fórmulas são dadas em função de
g, mais precisamente
t = (1 + g 2 x) −1/2 (1, gx),
n = (1 + g 2 x) −1/2 (−gx, 1),
que apenas sabemos sua existência e não a conhecemos. Por outro
lado, sabemos calcular as relações entre as derivadas de f e g. Logo,
2.5 Curvatura
t = (f 2 x + f 2 y ) −1/2 (fy, −fx),
n = (f 2 x + f 2 y ) −1/2 (fx, fy).
A curvatura indica o quanto a curva muda a direção. Podemos expressar
essa direção como uma base positiva de R 2 a partir de elementos
geométricos da curva.
Caso paramétrico
Uma maneira de medir como o traço se curva é observar como a base
{t(s) , n(s)} associada a cada ponto varia quando nos movemos ao
longo da curva. Esta mudança pode ser controlada pelo significado
das derivadas de t ′ (s) e n ′ (s) . Diferenciando as expressões
obtemos
||t|| 2 = ||n|| 2 = 1 e 〈t(s) , n(s)〉 = 0,
〈t ′ (s) , t(s)〉 = 〈n ′ (s) , n(s)〉 = 0 e
〈t ′ (s) , n(s)〉 + 〈t(s) , n ′ (s)〉 = 0.