Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 4. Geometria Afim: Curvas 71
Em particular, se t = l for o comprimento de arco, então αt = t
e αtt = n, o que implica h(t) = � t
t0 κ1/3 dl.
Observação 4.15. Se α : I → R 2 é uma curva parametrizada pelo
comprimento de arco afim, então a curvatura Euclidiana é sempre
positiva. Pois, a curvatura Euclidiana é dada por
k(s) = α′ (s) ∧ α ′′ (s)
||α ′ (s)|| 3 .
Como α esta parametrizada pelo comprimento de arco afim temos
α ′ ∧ α ′′ = 1, logo
k(s) =
1
||α ′ > 0.
(s)|| 3
Exercício 4.16. Verifique que o comprimento afim da parábola definida
pela equação (4.2) é de fato Li.
4.3.2 Vetores Tangente e Normal Afins
Vamos definir os vetores tangente e normal afins em curvas regulares.
Inicialmente, vamos determiná-los no caso paramétrico e depois usaremos
o teorema da função implícita para ver a curva localmente como
um gráfico e assim utilizaremos as definições do caso paramétrico para
obtermos tais invariantes.
Seja α : I ⊂ R → R 2 uma curva dada por α(t) = (x(t), y(t)).
Sejam a, b ∈ R 2 , denotaremos por a∧b = det(a, b) forma bilinear antisimétrica
dada pelo determinante. Sabemos da geometria Euclidiana
que (t, n) ∈ SO(2, R), onde SO(2, R) é o grupo das rotações do plano
e t e n são respectivamente os vetores unitários tangente e normal da
curva α.
Queremos agora construir em cada ponto de α um par de vetores
(τ, η) tal que τ ∧ η = 1.
Observação 4.17. O significado geométrico da condição
(τ, η) ∈ SL(2, R) = {A ∈ M(2); det(A) = 1}
é que o paralelogramo orientado determinado pelos vetores τ e η
possui área unitária.