Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

58 3.5. Segunda Forma Fundamental
3.5.4 Fórmula de Minkowski
Teorema 3.39. [Fórmula de Minkwoski] Seja Ω um domínio no
plano e seja S uma superfície compacta, convexa parametrizada por
σ(u, v) tal que S = σ(Ω). Consideremos uma variação dessa superfície
ao longo do vetor normal, isto é, σt(u, v) = σ(u, v) + tN(u, v), onde
0 ≤ t ≤ T. Então,
V ol(U) = V ol(U) + T Area(Ω) − T 2
��
Ω
HdA +
T 3
3
��
Ω
KdA,
onde U é a região limitada por S e U é a região limitada por St.
Demonstração: Seja σ : U ⊂ R 2 → S uma parametrização de
S e seja σt : U × [0, T ] → R 3 variação da superfície S, dada por
σt(u, v) = σ(u, v) + tN(u, v),
Derivando com relação a u, v e t a expressão σt(u, v), obtemos
Daí,
(σt)u = σu + tNu,
(σt)v = σv + tNv,
σt = N.
Como {σu, σv} forma uma base para TpS, temos que
Nu = dN(σu) = a11σu + a12σv,
Nv = dN(σv) = a21σu + a22σv.
(σt)u × (σt)v = σu × σv(1 + t(a11 + a22))
+ t 2 (a11a22 − a12a21)(σu × σv)
Vimos anteriormente que −2H = a11 + a22 e K = a11a22 − a12a21.
Logo,
(σt)u × (σt)v = (σu × σv)(1 − 2tH + t 2 K),
e usando o fato que k1 ≤ k2, obtemos
||(σt)u × (σt)v|| = (1 − 2tH + t 2 K)||σu × σv||,