Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 4. Geometria Afim: Curvas 69
4.3 Curvas Paramétricas
Vamos primeiro considerar o caso em que a curva seja paramétrica
e depois com as expressões de cada propriedade geométrica obteremos
os invariantes afins em curvas implícitas, isto é possível, pois
localmente qualquer curva implícita regular pode ser vista como um
gráfico. Por questão de simplicidade do texto, quando nos referirmos
a transformações afins, estamos trabalhando com transformações lineares
que preservam área.
4.3.1 Comprimento de Arco Afim
No estudo de curvas na geometria Euclidiana o primeiro ingrediente
para encontrar as propriedades geométricas é o cálculo do comprimento
de arco. Vimos que sempre é possível reparametrizar uma
curva regular de tal forma que o vetor velocidade da curva seja
unitário. Agora, queremos definir o comprimento de arco afim e com
isso poder avançar no estudo das propriedades geométricas que são
invariantes por transformações afins.
Definição 4.10. Seja α uma curva definida no plano e seja A uma
transformação afim do plano. Uma função escalar g em α é invariante
afim se, para todo ponto p ∈ α, g(A(p)) = g(p) . Analogamente um
vetor V em α é invariante afim se, para todo p ∈ α, V (A(p)) = V (p) .
Esta notação é mais conhecida como invariante equiafim.
O próximo resultado mostra que toda curva α : I ⊂ R → R 2 não
degenerada pode ser reparametrizada de tal forma que α ′ ∧ α ′′ = 1.
Proposição 4.11. Seja α : I → R 2 uma curva não-degenerada,
então existe um difeomorfismo h : I → J tal que αs ∧αss = 1, ∀s ∈ J.
Demonstração: De fato, suponhamos que exista um difeomorfismo
h : I → J tal que αs ∧ αss = 1, ∀s ∈ J. Consideremos a reparametrização
β : J → R 2 . Assim, α(t) = β(h(t)) = β(s). Diferenciando
esta última equação temos
αt =
ds
βs
dt ,
�
ds
dt
αtt = βss
� 2
d
+ αs
2s .
dt2