Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

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58 3.5. Segunda Forma Fundamental 3.5.4 Fórmula de Minkowski Teorema 3.39. [Fórmula de Minkwoski] Seja Ω um domínio no plano e seja S uma superfície compacta, convexa parametrizada por σ(u, v) tal que S = σ(Ω). Consideremos uma variação dessa superfície ao longo do vetor normal, isto é, σt(u, v) = σ(u, v) + tN(u, v), onde 0 ≤ t ≤ T. Então, V ol(U) = V ol(U) + T Area(Ω) − T 2 �� Ω HdA + T 3 3 �� Ω KdA, onde U é a região limitada por S e U é a região limitada por St. Demonstração: Seja σ : U ⊂ R 2 → S uma parametrização de S e seja σt : U × [0, T ] → R 3 variação da superfície S, dada por σt(u, v) = σ(u, v) + tN(u, v), Derivando com relação a u, v e t a expressão σt(u, v), obtemos Daí, (σt)u = σu + tNu, (σt)v = σv + tNv, σt = N. Como {σu, σv} forma uma base para TpS, temos que Nu = dN(σu) = a11σu + a12σv, Nv = dN(σv) = a21σu + a22σv. (σt)u × (σt)v = σu × σv(1 + t(a11 + a22)) + t 2 (a11a22 − a12a21)(σu × σv) Vimos anteriormente que −2H = a11 + a22 e K = a11a22 − a12a21. Logo, (σt)u × (σt)v = (σu × σv)(1 − 2tH + t 2 K), e usando o fato que k1 ≤ k2, obtemos ||(σt)u × (σt)v|| = (1 − 2tH + t 2 K)||σu × σv||,
Capítulo 3. Geometria Euclidiana: Superfícies 59 Portanto, �� V ol(U) = V ol(U) + �� = V ol(U) + + �� T Ω � T 3.6 Discussão � T Ω � T Ω ||(σt)u × (σt)v||dudvds t=0 ||σu × σv||dudvds t=0 (−2sH)||σu × σv||dudvds t=0 �� + (s Ω t=0 2 K)||σu × σv||dudvds = V ol(U) + T A(s) − T 2 �� HdA + Ω T 3 3 �� Ω KdA. Ao longo desse capítulo estudamos superfícies regulares tanto paramétricas como implícitas, notamos que o teorema da função implícita é um resultado fundamental para obtermos as propriedades geométricas no caso implícito a partir do caso paramétrico. Além disso, para construir uma representação discreta da superfície a partir de sinais discreto, vimos que o algoritmo Marching Cubes é muito útil, mas tal algoritmo apresenta casos ambíguos durante a extração da malha, de forma que nem sempre tem a topologia correta e nem a malha converge para a superfície. Contando que os sinais podem ser ou positivo ou negativo em cada um dois 8 cantos do cubo, temos 2 8 = 256 configurações básicas, redutíveis à 15 casos se tirar casos equivalentes por rotação ou simetria. Porém, se incluirmos os sub-casos para garantir que a triangulação corresponda com a topologia da interpolação tri-linear, isso gera 33 casos bases derivados em mais de 730 por simetria [LLVT03]. Esta complexidade tornou a busca por alternativas ao Marching Cubes original [NY06]. As abordagens detalhadas anteriormente não têm um formalismo único: funções multilineares permitem criar globalmente uma su- �
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