Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

118 6.1. Problemas Discretos
tal �α ′ �. Finalmente, o limite pode ser simplificado num supremo no
caso convexo. Vamos analisar cada observação.
A força da definição de curvas admissíveis reside na possibilidade
de caracterizá-las a partir da regularidade da parametrização. Esse
processo é muito mais delicado para superfícies, mesmo suaves, pois
existem processos de amostragem que não garantem propriedades
elementares de convergência da área, como o lampião de Schwarz.
Portanto, a passagem ao limite tem que ser associada a um certo
tipo de amostragem, geralmente triangulações de Delaunay, podendo
haver variações e assim mais de uma definição, não equivalentes, de
invariantes discretos.
O problema discreto fica mais complicado ainda na prática pois,
com dados reais, a curva limite C não é conhecida. Uma abordagem
consiste em interpolar ou aproximar os dados discretos por uma curva
suave, e definir os invariantes a partir das derivadas dessa curva suave.
Nesse livro, esse processo foi usado no caso de invariantes afins
de superfícies implícitas discretas. Outra abordagem consiste em definir
um invariante da curva discreta, e garantir que ele converge para
o invariante da curva limite, sob um processo de amostragem controlado,
como foi o caso dos polígonos parabólicos. Poderia definir
o invariante sem a convergência para uma noção conhecida no caso
limite, mas perderia a interpretação do invariante calculado.
Finalmente, os casos convexos, ou estritamente convexos para a
geometria afim, geram melhores condições para a estimação de invariantes.
Em particular no caso afim, os pontos de inflexão geram
problemas numéricos para estimar os invariantes, pois tem curvatura
infinita. Porém, os dados reais vem corrompidos por ruído. Mesmo
um círculo, uma vez perturbado por um ruído pequeno, deixa de
ser convexo. A literatura matemática relata muitos métodos para
remoção de ruído, mas para garantir que a medida estimada é invariante,
o processo de remoção de ruído também tem que ser invariante.