Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

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64 4.1. Invariância Afim Cônicas Aqui temos por objetivo ilustrar figuras geométricas que são afins congruentes. O próximo conceito nos diz o sentido da congruência que estamos falando. Definição 4.4. Uma figura f1 é afim-congruente com uma figura f2 se existe uma transformação afim, não necessariamente linear, que leva f1 em f2. A relação afim-congruente é uma relação de equivalência, em particular temos que todos os triângulos são afim-congurentes. O próximo passo é mostrar que existem curvas que são afim congruentes, tais curvas são as cônicas. As quais definiremos a seguir. Definição 4.5. Uma cônica é um conjunto em R 2 definido pela equação da forma Ax 2 + Bxy + Cy 2 + F x + Gy + H = 0, (4.1) onde A, B, C, F, G, H são números reais e A, B e C não todos nulos. As três formas de cônica não degeneradas são elipses, parábolas e hipérbolees. Uma cônica não degenerada é uma • hipérbole se B 2 − 4AC > 0, • parábola se B 2 − 4AC = 0, • elipse se B 2 − 4AC < 0. O número ∆ = B 2 − 4AC é chamado de discriminante da cônica. O próximo resultado mostra a grande diferença entre as geometrias Euclidiana e afim. Proposição 4.6. Temos as seguintes congruências: 1. Qualquer elipse é afim-congruente ao círculo unitário centrado na origem e raio dado por x 2 + y 2 = 1. 2. Qualquer hipérbole é afim-congruente à hipérbole xy = 1. 3. Qualquer parábola é afim-congruente à parábola y 2 = x.
Capítulo 4. Geometria Afim: Curvas 65 Demonstração: 1. Qualquer elipse é afim-congruente com a elipse na forma x2 a2 + y2 b2 = 1, pois fazendo uma rotação e translação obtemos tal forma. Agora consideremos a transformação afim: onde daí, x 2 1 + y 2 1 = 1. � x1 y1 p :(x, y) ↦→(x1, y1) , � � 1 = a 0 0 1 b �� x y 2. Qualquer hipérbole é afim-congruente com a hipérbole na forma x 2 a2 − y2 b2 = 1, pois fazendo uma rotação e translação obtemos tal forma. Agora consideremos a transformação afim: onde � x1 y1 p1 : (x, y) ↦→ (x1, y1), � � 1 = a 0 0 1 b �� x y assim, x2 1 − y2 1 = 1 = (x1 − y1)(x1 + y1) = 1. Finalmente, aplicando a transformação afim p2 :(x1, y1) ↦→(x2, y2) , sendo � � � �� x2 1 −1 x1 = 1 1 y2 o que implica x2y2 = 1. 3. Notemos que qualquer parábola é afim-congruente com a parábola y 2 = ax. Por rotação e translação obtemos tal forma. Agora consideremos a transformação afim t : (x, y) ↦→ (x1, y1), onde � x1 y1 o que segue y 2 1 = x1. � � 1 = a 0 0 1 a y1 �� x y � � � �
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