Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 5. Geometria Afim: Superfícies 105
Figura 5.5: Os parabolóides elíptico e hiperbólico tem normal afim
ξ constante, os quais têm o papel do plano Euclidiano na goemetria
afim.
No entanto, sabemos a maneira como cada quantidade varia sobre
uma transformação afim: a métrica e as curvaturas são invariantes, o
co-normal é covariante e o normal é contravariante. Aqui definimos
uma transformação afim A que simplifica as fórmulas acima e melhora
(ou isola) as instabilidades numéricas. Na próxima subseção, primeiro
introduziremos esta transformação, encontraremos as fórmulas para
a estrutura afim depois da simplificação e finalmente mostraremos
como calcular a estrutura afim para a superfície implícita no caso
geral usando a simplificação.
Simplificação: Transformação A
Como todas as fórmulas implícitas são encontradas a partir do teorema
da função implícita, muitos termos podem ser simplificados se
pudermos definir o gradiente de f por um vetor constante por exemplo
(0, 0, 1) depois de uma transformação afim A. Por outro lado, alinhar
as direções das curvaturas principais Euclidianas com os eixos x e y
reduz ainda mais o tamanho de nossas fórmulas.
Mais precisamente, procuramos por uma transformação afim A.
Neste caso, teremos uma composição de uma rotação R1 e um escalonamento
S e uma rotação R2, onde S ◦ R1 leva o vetor gradiente
de f para (0, 0, 1) e a rotação R2 no plano xy alinha as direções prin-