Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

72 4.3. Curvas Paramétricas
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Figura 4.4: Interpretação geométrica do tangente e normal afins.
Definição 4.18. Dada α uma curva parametrizada pelo comprimento
de arco afim, seus vetores tangente e normal afim são definidos,
respectivamente por
τ = αs,
η = αss,
onde s é o parâmetro de arco afim.
Figura 4.5: Invariantes afins na parábola: tangente e normal, respectivamente.
É interessante termos a expressão dos vetores tangente e normal
afins quando a curva α(t) = (x(t), y(t)) não está parametrizada pelo
comprimento de arco afim. Sendo assim, temos que o elemento de
comprimento de arco afim é dado por
ds = (x ′ y ′′ − y ′ x ′′ ) 1/3 dt = (α ′ ∧ α ′′ ) 1/3 dt.