Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

64 4.1. Invariância Afim
Cônicas
Aqui temos por objetivo ilustrar figuras geométricas que são afins
congruentes. O próximo conceito nos diz o sentido da congruência
que estamos falando.
Definição 4.4. Uma figura f1 é afim-congruente com uma figura f2
se existe uma transformação afim, não necessariamente linear, que
leva f1 em f2.
A relação afim-congruente é uma relação de equivalência, em particular
temos que todos os triângulos são afim-congurentes.
O próximo passo é mostrar que existem curvas que são afim congruentes,
tais curvas são as cônicas. As quais definiremos a seguir.
Definição 4.5. Uma cônica é um conjunto em R 2 definido pela
equação da forma
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + F x + Gy + H = 0, (4.1)
onde A, B, C, F, G, H são números reais e A, B e C não todos nulos.
As três formas de cônica não degeneradas são elipses, parábolas e
hipérbolees. Uma cônica não degenerada é uma
• hipérbole se B 2 − 4AC > 0,
• parábola se B 2 − 4AC = 0,
• elipse se B 2 − 4AC < 0.
O número ∆ = B 2 − 4AC é chamado de discriminante da cônica.
O próximo resultado mostra a grande diferença entre as geometrias
Euclidiana e afim.
Proposição 4.6. Temos as seguintes congruências:
1. Qualquer elipse é afim-congruente ao círculo unitário centrado
na origem e raio dado por x 2 + y 2 = 1.
2. Qualquer hipérbole é afim-congruente à hipérbole xy = 1.
3. Qualquer parábola é afim-congruente à parábola y 2 = x.