Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

78 4.3. Curvas Paramétricas
O ponto de suporte zi depende do parâmetro t (definindo xi+1 =
α(t)), e ele pertence ao eixo horizontal (pois a tangente em xi é
horizontal): zi(t) = (z(t), 0). O comprimento de arco afim é dado
por L(t) = 3� 4z(t)y(t). Podemos definir uma transformação afim
(mas não equi-afim) que fixa (α(0), α ′ (0)) e leva (αi+1, α ′ i+1 ) para
((t, t2
2 ), (1, t))
T =
� A(t) B(t)
0 D(t)
⎡
�
⎢
= ⎢
⎣
2z(t)
L(t)
0
2(x(t) − 2z(t))
L(t) 2
2y(t)
L(t) 2
⎤
⎥
⎦ .
Um cálculo direto permite estimar as quantidades acima
⎧
⎪⎨
⎪⎩
z(t) = 1
2 · t+
µ
24 · t3 + ν
60 · t4 + O(t5 L(t) = t+
),
O(t5 ),
A(t) = 1+ µ
12 · t2 + ν
30 · t3 + O(t4 B(t) = −
),
µ
2 · t− 3ν
20 · t2 + O(t3 D(t) = 1−
),
µ
12 · t2− ν
30 · t3 + O(t4 ).
O estimador de curvatura µ i = ηi−1×ηi
1 pode ser estimado
2
(Li−1+Li)
também por
µ i(t, u) = µi + 3
10 (t − u)ν + O(t2 + u 2 ) .
Isso prova a convergência do estimador, e ainda mostra que se a
amostragem for regular (t = u), a convergência é mais rápida ainda.
Nesse caso, temos ainda que a assinatura (a derivada da curvatura)
pode ser estimada a partir de xi−1, xi, xi+1 e xi+2 = α(v), por
µ i+1 − µ i
νi =
Li + 3
10Li+1 − 3
10Li−1 = νi + O(t + u + v).
Da assinatura é possível deduzir invariantes de geometria projetiva, o
que permite estender o modelo de polígonos parabólicos para outras
aplicações [LC08, LC10].