Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 4
Geometria Afim:
Curvas
Neste capítulo veremos as propriedades geométricas invariantes por
transformações afins em curvas, a saber os vetores tangente e normal
e a curvatura.
4.1 Invariância Afim
Na geometria Euclidiana, as propriedades geométricas como vetores
tangente e normal em curvas são covariantes por isometrias, ou
seja, se aplicarmos uma isometria a curva temos que os novos vetores
tangente e normal são dados pela isometria aplicado à curva inicial,
já a curvatura da curva é invariante, isto é, ela não se altera por
isometria. No entanto, tais propriedades geométricas não são invariantes
por transformações lineares em geral. Mas, se nos limitarmos
as transformações lineares afins, Ax, x ∈ R 2 , que preservam áreas, ou
seja, det(A) = 1, obteremos invariantes afins.
Neste sentido, queremos encontrar propriedades geométricas P
que são invariantes por transformações do grupo
x ∈ R 2 ↦→ Ax ∈ R 2 ,
onde A é uma matriz satisfazendo det(A) = 1.