Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 4. Geometria Afim: Curvas 67
x i-1
xi+2
x i
z i-1
x i+1
z i+1
Figura 4.2: Pontos e triângulos de suporte numa parábola amostrada.
Modelo discreto
No caso discreto, pode-se replicar o modelo onde o comprimento
está “concentrado” nas arestas e as curvaturas são concentradas nos
vértices. Para isso, precisa-se de um modelo onde as arestas tem curvaturas
zero, e esse equivalente afim de linhas retas são as parábolas.
Em outras palavras, é uma curva polinomial por parte, onde os polinômios
tem grau 2, descrevendo parábolas (ver Figura 4.2). A beleza
no caso de estudo afim de curvas (que não funciona no caso de
superfícies) é que essas parábolas podem ser unicamente definidas a
partir dos vértices da curva e da direção da tangente em cada vértice.
Assim, esse modelo de polígono parabólico [CLM06, CLM07] contém
uma informação de derivada a mais, para estimadores afins que evolvem
mais derivações que os equivalentes Euclidianos. Além disso, a
direção tangente é covariante afim, portanto o modelo de polígono
parabólico é bem adequado para os estimadores afins.
z i