Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

80 4.4. Curvas Implícitas
4.4.1 Exemplos Fundamentais
As formas mais básicas da geometria Euclidiana são as retas, com
normal constante e portanto curvatura nula, e o círculo com curvatura
constante. Na geometria afim, as formas equivalentes são as
parábolas com normal afim constante, e a elipse e a hipérbole com curvaturas
afins constantes positiva e negativa, respectivamente. Suas
estruturas estão colocadas na tabela 4.2.
4.4.2 Simplificação: Transformação A
Como todas as fórmulas são encontradas a partir do teorema da
função implícita, muitos termos podem ser simplificados se o vetor
gradiente de f for o vetor constante, por exemplo, (0, 1) depois de
uma transformação afim. Em termos do grau de liberdade, estamos
procurando por uma transformação A, a qual é uma matriz 2 × 2.
Temos 4 coeficientes a determinar, sob a restrição de transformação
afim impomos mais uma restrição detA = 1, o que reduz o grau de
liberdade em 1. Fazemos uma rotação R para deixar o vetor tangente
vertical, a seguir fazemos um escalonamento não uniforme S ao longo
do eixo vertical que deixa o gradiente unitário.
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Figura 4.8: A construção da transformação A.
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