Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

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48 3.4. Primeira Forma Fundamental 3.4.1 Comprimento de Curva na Superfície Agora mostraremos como a primeira forma fundamental está relacionada com o comprimento de arco de curvas. Seja α : J ⊂ R → S curva parametrizada, vimos que o comprimento de arco é s(t) = � t 0 ||α ′ (t)||dt = � t 0 � I(α ′ (t))dt. Se α(t) = σ(u(t), v(t)) está contida em uma vizinhança coordenada correspondente à parametrização σ(u, v), podemos calcular o comprimento de arco de α entre a ≤ t ≤ b por s(t) = � b a � E(u ′ ) 2 + 2F u ′ v ′ + Gv ′2 dt. 3.4.2 Área de uma Região em uma Superfície Nesta subseção, mostraremos a relação entre os coeficientes da primeira forma fundamental e a área de uma região em uma superfície. Seja σ : U ⊂ R 2 → S uma parametrização da superfície S. A função ||σu × σv|| = � EG − F 2 representa a área do paralelogramo de lados σu e σv. Integrando este elemento de área sobre a região de um plano que define a superfície temos a área da superfície. Definição 3.26. Seja R ⊂ S uma região limitada de uma superfície regular contida na imagem da parametrização σ : U ⊂ R 2 → S. Então a área de R é dada por �� A(R) = σ−1 �σu × σv�dudv . (R) Exercício 3.27. Mostre que A(R) não depende da escolha da parametrização.
Capítulo 3. Geometria Euclidiana: Superfícies 49 3.5 Segunda Forma Fundamental Estudaremos a segunda forma fundamental a qual permitirá introduzir as curvaturas Gaussiana e média, estas dão informações sobre o comportamento local da superfície. 3.5.1 Aplicação Normal de Gauss A seguir, vamos estudar a aplicação normal de Gauss. A variação desta dá origem ao conceito de curvatura. Caso paramétrico Seja σ : U ⊂ R 2 → S uma parametrização da superfície regular S. A aplicação N : σ(U) → S 2 que toma seus valores na esfera unitária S 2 = {(x, y, z) ∈ R 3 /x 2 + y 2 + z 2 = 1} é chamada aplicação normal de Gauss. Figura 3.11: A aplicação de Gauss. A sua derivada dNp : TpS → T N(p)S é uma aplicação linear. Como TpS e T N(p)S são paralelos (perpendiculares à mesma normal) podemos identificá-los, assim dNp : TpS → TpS.
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