Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

52 3.5. Segunda Forma Fundamental
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Figura 3.12: Curvatura normal.
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A curvatura normal de C não depende da orientação de C, mas
troca de sinal com uma mudança de orientação da superfície.
Podemos dar uma interpretação geométrica da segunda forma fundamental
IIp utilizando a curvatura normal. De fato, seja C ⊂ S uma
curva parametrizada pelo comprimento de arco α(s), com α(0) = p.
Se indicarmos por N(s) a restrição do vetor normal N à curva α(s),
teremos IIp(α ′ (0)) = κn(p).
Exercício 3.33. Com a notação acima, prove que a segunda forma
fundamental verifica IIp(α ′ (0)) = κn(p).
Como dNp é uma aplicação auto-adjunta sabemos pelo teorema
espectral que existe uma base {e1, e2} ortonormal de TpS tal que
dNp(e1) = −k1e1 e dNp(e2) = −k2e2.
Definição 3.34. O máximo k1 da curvatura e o mínimo k2 da curvatura
são chamadas curvaturas principais em p; as direções correspondentes,
isto é, as direções dadas pelos autovalores e1 e e2 são
chamadas direções principais em p.