Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 2. Geometria Euclidiana: Curvas 23
Isto significa que o vetor tangente é perpendicular ao raio. Notemos
que α ′ (t) �= 0, ∀ t ∈ [0, 2π), logo podemos calcular o comprimento de
arco do círculo que é dado por
L(α) =
� 2π
0
||α ′ (t)||dt =
� 2π
0
rdt = 2πr.
Seja α : I → R 2 curva com parâmetro t, podemos reparametrizalá
aplicando outro intervalo sobre I e usando a composição como uma
nova curva. Mais precisamente, seja h : J → I diferenciável, onde
J ⊂ R intervalo aberto real, então a reparametrização de α é
β = α ◦ h : J → R 3 , β(s) = α(h(s)), h(s) = t.
É fácil verificar, usando a regra da cadeia, que β ′ (s) = α ′ (h(s)). dh(s)
ds .
Teorema 2.11. Toda curva regular pode ser reparametrizada para
obter velocidade unitária.
Demonstração: Seja α uma curva regular definida em I. O comprimento
de arco é definido por
s(t) =
� t
t=a
||α ′ (u)||du,
pelo teorema fundamental do cálculo temos que
ds
dt = ||α′ (t)|| > 0.
Usando o teorema do valor médio, segue que s é estritamente crescente
em I. Portanto, é injetiva. Logo, s tem inversa na sua imagem,
a qual denotaremos por t(s) e suas respectivas derivadas estão relacionadas
da seguinte forma
Seja β(s) = α(t(s)). Então
dt
1
(s) =
> 0.
ds ds/dt(t(s))
|β ′ (s)| = ||α ′ (t(s))||
�
�
� dt
ds (s)
�
�
� = 1.
�