Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 2. Geometria Euclidiana: Curvas 29
Como
Pu = αu + tnu = αu + sdn.αu = αu − tkαu = (1 − tk)αu,
Pt = n,
temos que Pu × Pt = (1 − tk)αu × n, logo ||Pu × Pt|| = (1 − tk)||αu||,
onde k é a curvatura da curva α. Daí,
� b
|Bt| = |B| +
v=a
� T
= |B| + T L(α) −
0
(1 − tk)||αu||dsdu
T 2
2
� b
a
kdu,
onde L(α) é o comprimento da curva α, B é a região interna limitada
pela curva α e |B| é a área da região B.
2.7 Discussão
Nesse capítulo vimos as primeiras ilustrações dos problemas de mudança
de contexto de modelagem. Enquanto o cálculo de invariantes
diferenciais é facilmente expresso nas curvas paramétricas, não tem
equivalentes diretos no caso discreto. Uma opção é recorrer à aproximação,
seja por curvas discretas polinomiais onde as derivadas são
definidas por manipulação algébrica no computador, seja passando
pelo caso implícito, expressando as derivadas através do teorema da
função implícita e estimando-as por aproximação numérica.
Outra opção consiste em usar a geometria do modelo de curvas
implícitas. No caso, as derivadas são nulas ao longo de cada segmento
do polígono, e não definidas nos seus vértices. Podemos interpretar
isso como curvas onde o comprimento esta “concentrado” nas arestas,
e a curvatura é concentrada nos vértices, separando os invariantes por
tipo: invariantes envolvendo uma derivada nos elementos de dimensão
1 (segmentos de reta), e invariantes envolvendo duas derivadas nos
elementos de dimensão 0 (um vértice é equivalente a uma bola em
R 0 = {0}). Essa observação sobre as dimensões esta na base dos
estimadores atuais, usando cálculo exterior (formas diferenciais) no
caso discreto [CSM03, TLHD03].