Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

104 5.5. Superfícies Implícitas
5.5.4 Exemplos Fundamentais
Parabolóide Parabolóide Esfera
Elíptico Hiperbólico
f z − 1
�
2 2 x + y �
z − 1
�
2 2 x − y �
x2 + y2 + z2 − r2 N
K
2
√ 1
(−x, −y, 1)
1+x2 +y2 � 1 + x 2 + y 2 � −2
2
√ 1
(−x, y, 1)
1+x2 +y2 − � 1 + x 2 + y 2� −2
1
r ·(x, y, z)
r −2
d 1 −1 r 2 z −4
ν (−x, −y, 1) (−x, y, 1) r −1 /2 (x, y, z)
ξ (0, 0, 1) (0, 0, 1) r −3 /2 (x, y, z)
K 0 0 r −3
H 0 0 −2r −3 /2
Tabela 5.1: Exemplos fundamentais de estruturas afins.
As formas mais simples da geometria Euclidiana são o plano cuja
normal é constante e portanto a curvatura é zero e a esfera cuja curvatura
é constante. Na geometria afim as formas equivalentes são os
parabolóides com normal afim constante (ver Figura 5.5), o elipsóide
e o hiperbolóide de uma e duas folhas com curvaturas constantes.
Suas estruturas afins estão atribuídas na tabela 5.1.
5.5.5 Reduções Geométricas e
Fórmulas Simplificadas
As fórmulas para as estruturas afins encontradas são uma extensão
para o caso de gráfico
G = { ( x, y, g(x, y) ) , (x, y) ∈ U}
e seus tamanhos crescem bastante quando usamos o teorema da
função implícita para expressar essas estruturas afins diretamente
em termos da função implícita f. Isso leva à uma significativa instabilidade
numérica durante o cálculo (ver Figura 5.10) e prejudica a
invariância afim das quantidades calculadas.