Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

110 5.6. Mudança de Contexto
5.6 Mudança de Contexto
(a) (b) (c)
Figura 5.7: Modelo implícito de uma banana (b) com as curvaturas
Gaussianas afim (à esquerda) e média (à direita), cores escuras indicam
maiores curvaturas. Nos itens (a) e (c) aplicamos transformações
afins p ↦→ A · p ao item (b). Notemos que as características das cores
se preservaram, ou seja, as curvaturas se mantiveram, comparando
com o caso Euclidiano onde claramente isso não ocorreria.
Estudamos ao longo destas últimas seções propriedades geométricas
que são invariantes em superfícies paramétricas. Já no caso
da superfície ser definida implicitamente utilizamos o teorema da
função implícita para reduzir ao caso de superfícies paramétricas,
pois localmente a superfície pode ser vista como um gráfico e assim
utilizando a parte paramétrica desenvolvida obtemos tais invariantes
diferenciáveis. No caso implícito discreto utilizamos o algoritmo Marching
Cubes [LC87] para obtermos a extração de superfícies implícitas
e a partir das expressões conhecidas dos invariantes geométricos implementamos
tais funções dentro do Marching Cubes. Um dos pontos
fundamentais para obtermos boas estimativas de invariantes afins é
termos boas derivadas de f até a quarta ordem, e isso não é uma
tarefa simples.