Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

46 3.4. Primeira Forma Fundamental
Se S = f −1 (a), onde a é um valor regular de f : R 3 → R, afirmamos
que o espaço tangente à superfície S no ponto p é o complementar
ortogonal da reta gerada ∇f(p). De fato, seja v ∈ TpS, então
existe uma curva α : (−ɛ, ɛ) → S tal que α(0) = p e α ′ (0) = v, logo
f ◦ α(t) = a, o que implica
〈∇f(p), α ′ (0)〉 = (f ◦ α) ′ (0) = 0,
o que mostra que ∇f(p) é ortogonal a TpS. Isto quer dizer que o
vetor normal em p é
N(p) = ∇f(p)
||∇f|| .
3.4 Primeira Forma Fundamental
Nesta seção, estudaremos a primeira forma fundamental que permite
medir a área de regiões e o comprimento de curvas em superfícies.
O produto interno de R 3 ⊃ S induz em cada plano tangente
TpS de uma superfície regular S um produto interno, indicado por
〈 , 〉 : TpS × TpS → R, que associa um número real a cada par de
vetores (w1, w2) ∈ (TpS) 2 . A este produto interno, que é uma forma
bilinear simétrica, corresponde uma forma quadrática Ip : TpS → R
dada por Ip(w) = 〈w, w〉p = |w| 2 ≥ 0.
Definição 3.23. A forma quadrática Ip : TpS → R é chamada de
primeira forma fundamental da superfície S ⊂ R 3 em p ∈ S.
Caso paramétrico
Vamos expressar Ip em termos da base {σu, σv} de TpS. Seja w ∈
TpS, então existe uma curva diferenciável α : (−ɛ, ɛ) → S dada por
α(t) = σ(u(t), v(t)) tal que α(0) = p = σ(u0, v0) e α ′ (0) = w. Obtemos
os coeficientes da primeira forma fundamental
Ip(α ′ (0)) = 〈α ′ (0), α ′ (0)〉p
= 〈σuu ′ + σvv ′ , σuu ′ + σvv ′ 〉p
= 〈σu, σu〉pu ′2 + 2〈σu, σv〉pu ′ v ′ + 〈σv, σv〉pv ′2
= Eu ′2 + 2F u ′ v ′ + Gv ′2 .