Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

56 3.5. Segunda Forma Fundamental
Calculando a curvatura, vimos anteriormente que k1 e k2 satisfazem
dN(v) = −k(v) = −kI(v), para algum v ∈ TpS − {0},
onde I : TpS → TpS é a aplicação identidade. Por definição de
autovalores temos que a aplicação linear dN = kI não é invertível.
Logo,
Isto é equivalente a
�
a11 + k a12
det
a21 a22 + k
k 2 + k (a11 + a22)
� �� �
tr(A)
�
= 0.
+ (a11a22 − a12a21) = 0,
� �� �
det(A)
aqui A = (ai,j)1≤i,j≤2.
Como k1 e k2 são as raízes da equação acima, obtemos
H = k1 + k2
2
= − 1
2
tr(A) = −1
2
eG − 2fF + gE
EG − F 2 .
Exemplo 3.35 (Plano). Vimos anteriormente que dN = 0. Logo,
K = H = 0.
Exemplo 3.36 (Esfera). Consideremos a parametrização definida
no exercício 3.25. Temos que o vetor normal em cada ponto é
N = (sen(θ)cos(ψ), sen(θ)sin(ψ), cos(θ)).
Verificamos que os coeficientes da segunda forma fundamental são
e = −r, f = 0 e g = −rsen 2 (θ).
Logo, as curvaturas Gaussiana e média, respectivamente, são K =
r −2 e H = r −1 .
Exercício 3.37. Verifique os cálculos do exemplo anterior.