Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

76 4.3. Curvas Paramétricas
Proposição 4.24. Em termos da curvatura Euclidiana da curva α
e de suas derivadas com respeito ao comprimento de arco usual a
curvatura afim é
µ(s) = κ 4/3 − 5
9 κ−8/3 κ 2 l + 1
3 κ−5/3 κll.
Demonstração: Seja s o parâmetro de arco afim. Vimos que a
curvatura afim é µ(s) = [η, ηs]. Como η = − 1
3κ−5/3κlt + κ1/3 temos
n,
logo,
ηs = 5
9 κ−8/3 κ 2 l κ −1/3 t − 1
3 κ−2 κllt − 1
3 κ−2 κltl + 1
3 κ−1 κln − κt,
µ(s) = κ 4/3 − 5
9 κ−8/3 κ 2 l + 1
3 κ−5/3 κll.
Observação 4.25. Os vetores tangente e normal afins são convariantes
e a curvatura afim é invariante por transformações afins. De
fato, seja α : I ⊂ R → R 2 curva parametrizada pelo comprimento
de arco e seja A uma transformação equi-linear, isto é, que preserva
área, temos que
(Aα)s = Aαs = Aτ,
(Aα)ss = Aαss = Aη.
Daí, a nova curvatura é [Aαss, Aαs] = [αs, αss] = µ(s).
O próximo resultado mostra que a curvatura afim é de fato o
invariante fundamental na geometria afim.
Proposição 4.26. Seja µ = µ(s) : I ⊂ R → R uma função suave.
Então existe uma curva localmente estritamente convexa α : I → R 2
cujo parâmetro comprimento de arco é s e cuja curvatura afim é µ.
Além disso, se ¯α é outra curva tendo as mesmas propriedades, então
existe um único movimento afim levando α em ¯α, ou seja, µ determina
α a menos de transformações afins.
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