Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

34 3.1. Modelos Euclidianos de Superfícies
Mudança de parâmetros
A definição analítica de uma aplicação f : S → R definida sobre uma
superfície regular é delicada. Uma forma natural de pensarmos sobre
o seu significado seria escolher para cada p ∈ S uma parametrização.
O problema é que tal ponto pode pertencer a duas ou mais parametrizações
e é necessário garantir que o valor de f(p) seja o mesmo
em todas. Então, é importante mostrarmos que isso não depende do
sistema de coordenadas escolhido. Neste sentido, podemos enunciar
o seguinte resultado
Proposição 3.4 (Mudança de parâmetros). Seja p um ponto de
uma superfície regular S e sejam σ : U ⊂ R 2 → S e τ : V ⊂ R 2 → S
duas parametrizações de S tais que p ∈ σ(U) ∩ τ(V ) = W. Então,
a mudança de coordenadas h = σ −1 ◦ τ : τ −1 (W ) → σ −1 (W ) é um
difeomorfismo: h é diferenciável e tem inversa diferenciável h −1 .
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Figura 3.2: Mudança
de parâmetros.
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Figura 3.3: Aplicação diferenciável
entre duas superfícies regulares.
Definição 3.5. Seja f : S → R uma função definida em um subconjunto
aberto V de uma superfície regular S. Então, f é diferenciável
em p ∈ V se para alguma parametrização σ : U ⊂ R 2 → S, com
p ∈ σ(U) ⊂ V, a composição f ◦ σ : U ⊂ R 2 → R é diferenciável em
σ −1 (p). A função f é diferenciável em V se é diferenciável em todos
os pontos de V .