Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

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50 3.5. Segunda Forma Fundamental Exemplo 3.28. Seja P = {(x, y, z) ∈ R 3 /ax + by + cz + d = 0} um plano. O vetor normal em p ∈ P é dado por N = e é constante, logo dNp = 0. 1 √ (a, b, c) a2 + b2 + c2 Exercício 3.29. Mostre que a aplicação dNp é auto-adjunta, isto é 〈dNpv, w〉 = 〈v, dNpw〉. Definição 3.30. Seja p ∈ S e seja dNp : TpS → TpS a diferencial da aplicação de Gauss. O determinante de dNp é chamado curvatura Gaussiana K de S em p. A metade do traço de dNp é chamado de curvatura média H de S em p. Definição 3.31. A forma quadrática IIp : TpS × TpS → R, definida em TpS por IIp(v) = −〈dNp(v), v〉 é chamada segunda forma fundamental de S em p. Vamos escrever a expressão da segunda forma fundamental na base {σu, σv}. Seja α(t) = σ(u(t), v(t)) uma curva parametrizada em S, com σ(0) = p. O vetor tangente a α(t) em p é α ′ (t) = σuu ′ + σvv ′ e a diferencial da aplicação de Gauss Portanto, onde dN(α ′ ) = N ′ (u(t), v(t)) = Nuu ′ + Nvv ′ . IIp(α ′ ) = −〈dNp(α ′ ), α ′ 〉 = −〈Nuu ′ + Nvv ′ , σuu ′ + σvv ′ 〉 = eu ′2 + 2fu ′ v ′ + gv ′2 , e = −〈Nu, σu〉, f = −〈Nv, σv〉 e g = −〈Nv, σv〉. Os coeficientes e, f e g são chamados coeficientes da segunda forma fundamental.
Capítulo 3. Geometria Euclidiana: Superfícies 51 Caso implícito Notemos que os coeficientes e, f e g foram determinados a partir da parametrização σ de S. Podemos determiná-los no caso em que a superfície é dada por uma função implícita S = f −1 (a). Isto segue diretamente do teorema da função implícita, pois localmente a superfície S é vista como um gráfico G = {(x, y, g(x, y))/(x, y) ∈ U} e usando as equações (3.1) obtemos e = 〈N, (0, 0, gxx)〉 = − fxxfz 2 − 2 fxzfxfz + fzzfx 2 � fz 2 fz 2 + fx 2 + fy 2 = det(A1) f 2 z |∇f| , f = 〈N, (0, 0, gxy)〉 = − fxyfz 2 − fzfyzfx − fzfyfxz + fyfzzfx � = det(A2) f 2 z |∇f| , fz 2 fz 2 + fx 2 + fy 2 g = 〈N, (0, 0, gyy)〉 = − fyyfz 2 − 2 fyzfyfz + fzzfy 2 � onde � � � A1 = � � � fxxfxzfx fxzfzzfz fx fz 0 3.5.2 Curvatura � � � � � � , A2 � � � = � � � fz 2 fxyfyzfy fxzfzzfz fx fz 0 fz 2 + fx 2 + fy 2 � � � � � � e A3 � � � = � � � fyyfyzfy fyzfzzfz fy fz 0 = det(A3) f 2 z |∇f| , Daremos agora uma interpretação geométrica da segunda forma fundamental. Definição 3.32. Seja C uma curva regular na superfície S passando por p ∈ S, κ a curvatura de C em p, e cos(θ) = 〈n, N〉, onde n é o vetor normal a C e N é o vetor normal a S em p. O número κn = κcos(θ) é chamado a curvatura normal de C ⊂ S em p. A curvatura normal κn é o comprimento da projeção do vetor κn sobre o normal à superfície em p, com sinal dado pela orientação N de S em p. � � � � � � .
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Índice Remissivo Área, 48 Aplica
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