Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

98 5.4. Cúbica Osculadora
5.4 Cúbica Osculadora
Um fato interessante é que não existe um parabolóide osculador à
superfície que seja invariante por transformações afins (ver [Spi99]).
É possível mostrar a existência de cúbicas osculadoras à superfície
e além disso existe uma transformação afim que leve tais cúbicas
em outras que são mais simples de entender. A classificação dessas
cúbicas depende do sinal da métrica. A demonstração da existência
das cúbicas osculadoras é equivalente a mostrar que o normal afim é
vertical ξ = (0, 0, 1).
É possível mostrar que se p ∈ S é um ponto hiperbólico ou elíptico,
então para cada X3 ∈ T ⊥ p S, complemento ortogonal do plano tangente,
dadas a função quadrática φ : TpS → R e a função cúbica
ψ : TpS → R olhando para a segunda e terceira ordem os termos da
expansão da série de Taylor para a função que descreve S em termos
do sistema de coordenadas X1, X2, X3, para qualquer base {X1, X2}
de TpS. Então existe uma única direção para X3 a qual faz φ e ψ
apolar, ou seja, isso garanti que o normal afim ξ = (0, 0, 1) em p.
Definição 5.9. Dizemos que duas formas ϕ e ψ dadas anteriormente
são apolar se elas satisfazem a � �
∂ ∂ ∂ ∂ 2(ϕ,
∂u ∂v − ∂v ∂u ψ) = 0. A expressão
anterior é denominada condição de apolaridade.
Proposição 5.10 (Classificação das cúbicas osculadoras). Seja G
uma cúbica osculadora em um ponto p de uma superfície S ⊂ R 3 . Se p
é um ponto elíptico então existe uma transformação afim A : R 3 → R 3
tal que A(G) ⊂ R 3 é o gráfico de
(u, v) ↦→ 1
2 (u2 + v 2 ) + C
6 (u3 − 3uv 2 ), para algum C.
Se p é um ponto hiperbólico então podemos escolher A tal que A(G)
é o gráfico de umas das três funções
(u, v) ↦→ 1
2 (u2 − v 2 ) + C
6 (u3 + 3uv 2 ),
(u, v) ↦→ 1
2 (u2 − v 2 ) + C
6 (v3 + 3vu 2 ),
(u, v) ↦→ 1
2 (u2 − v 2 ) + 1
6 (u + v)3 .