Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

94 5.2. Superfícies Paramétricas
5.2.5 Gráfico
Suponhamos que a superfície S seja um gráfico, ou seja, ele é parametrizado
por σ(x, y) = (x, y, g(x, y)), onde (x, y) ∈ U ⊂ R 2 , U é um
aberto e g : U → R é uma função.
Vamos encontrar os invariantes afins dados nas subseções anteriores.
Os coeficientes da métrica de Berwald-Blaschke são dados por
L = gxx, M = gxy e N = gxy e d = gxxgyy − g 2 xy, onde as derivadas
de g são calculadas em (x, y). O vetor co-normal é dado por
ν = | K | −1 /4 N = � � gxxgyy − g 2 xy
�
� −1 /4
onde K é a curvatura Gaussiana Euclidiana
K = � 1 + g 2 y + g 2�−2� x gxxgyy − g 2 �
xy .
As coordenadas do normal afim ξ são
ξ1 = 1
4 d−7 /4
ξ2 = 1
4 d−7 /4
ξ3 = 1
4 d−7 /4
�
�
�
( −gx, −gy, 1 ) , (5.6)
gxxgxygyyy − gxxgyygxyy − g 2 yygxxx − 2g 2 xygxyy
+ 3 gyygxygxxy) ,
gyygxygxxx − gxxgyygxxy − g 2 xxgyyy − 2g 2 xygxxy
+ 3 gxxgxygxyy) , (5.7)
4 g 4 xy + 4 g 2 xxg 2 yy − 8 gxxgyyg 2 xy + 3 gxgyygxygxxy
+3 gygxxgxygxyy − gxg 2 yygxxx − gyg 2 xxgyyy − 2 gxg 2 xygxyy
−2gyg 2 x,ygxxy − gxgxxgyygxyy − gygxxgyygxxy + gxgxxgxygyyy
+ gygyygxygxxx) .
Agora usando as equações (5.5) temos as curvaturas Gaussiana e
média afins.