Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

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102 5.5. Superfícies Implícitas Figura 5.3: Os parabolóides elíptico e hiperbólico tem co-normal afim apontando para o centro de cada superfície. Esta última relação mostra que uma base local em cada ponto p da superfície pode ser obtida por {gx, gy, ξ}. Isto segue da definição de estruturas a partir da teoria de “moving frame”de Cartan [NS94]. Sabemos que 〈 ξ , ν 〉 = 1, 〈 ν , ξx 〉 = 〈 ν , ξy 〉 = 0. Portanto, existe uma função λ : U → R tal que ξ = λ (νx × νy) , com λ = [ ν, νx, νy ] −1 = d −1 /4 . A fórmula explícita para o normal afim em função das derivadas de g foi dada nas equações (5.7), para encontramos ξ em função de f basta usar as equações (3.1) e de forma análoga ao cálculo destas equações obtermos as expressões das derivadas de terceira e quarta de g em função de f. Exercício 5.11. Calcule as expressões dos vetores co-normal e normal afins de uma superfície implícita. 5.5.3 Curvaturas Afins Na geometria Euclidiana as curvaturas afins são obtidas a partir da variação do normal afim (ver Figura 5.4). Visto que 〈 ν , ξ {x,y} 〉 = 0, então temos que as derivadas ξ {x,y} do normal afim são ortogonais a ν que é paralelo a N. Portanto, ξ {x,y} são tangentes a superfície.
Capítulo 5. Geometria Afim: Superfícies 103 Figura 5.4: Estruturas afins da superfície blobby dada pela expressão (3x) 4 +(3y) 4 +(3z) 4 −45x 2 −45y 2 −45z 2 +6 = 0 (da esquerda para a direita) direção conormal ν, direção normal ξ, curvaturas Gaussiana K e média H, coloridas de verde para azul, a parte central verde correspondente a métrica degenerada. Logo existem funções (bij)1≤i,j≤2 : R 3 → R, tais que Consequentemente, ξx = b11 gx + b12 gy, ξy = b21 gx + b22 gy. b11 = d −1 /4 · [ ξx, gy, ξ ] , b12 = d −1 /4 · [ gx, ξx, ξ ] , b21 = d −1 /4 · [ ξy, gy, ξ ] , b22 = d −1 /4 · [ gx, ξy, ξ ] . Os coeficientes bij formam uma matriz B = (bij)1≤i,j≤2 cujo de- terminante e menos da metade do traço são respectivamente as curvaturas Gaussiana e média afins: K = det B e H = − 1 2 tr B.
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