Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

50 3.5. Segunda Forma Fundamental
Exemplo 3.28. Seja P = {(x, y, z) ∈ R 3 /ax + by + cz + d = 0} um
plano. O vetor normal em p ∈ P é dado por
N =
e é constante, logo dNp = 0.
1
√ (a, b, c)
a2 + b2 + c2 Exercício 3.29. Mostre que a aplicação dNp é auto-adjunta, isto é
〈dNpv, w〉 = 〈v, dNpw〉.
Definição 3.30. Seja p ∈ S e seja dNp : TpS → TpS a diferencial
da aplicação de Gauss. O determinante de dNp é chamado curvatura
Gaussiana K de S em p. A metade do traço de dNp é chamado de
curvatura média H de S em p.
Definição 3.31. A forma quadrática IIp : TpS × TpS → R, definida
em TpS por
IIp(v) = −〈dNp(v), v〉
é chamada segunda forma fundamental de S em p.
Vamos escrever a expressão da segunda forma fundamental na
base {σu, σv}. Seja α(t) = σ(u(t), v(t)) uma curva parametrizada em
S, com σ(0) = p. O vetor tangente a α(t) em p é α ′ (t) = σuu ′ + σvv ′
e a diferencial da aplicação de Gauss
Portanto,
onde
dN(α ′ ) = N ′ (u(t), v(t)) = Nuu ′ + Nvv ′ .
IIp(α ′ ) = −〈dNp(α ′ ), α ′ 〉
= −〈Nuu ′ + Nvv ′ , σuu ′ + σvv ′ 〉
= eu ′2 + 2fu ′ v ′ + gv ′2 ,
e = −〈Nu, σu〉, f = −〈Nv, σv〉 e g = −〈Nv, σv〉.
Os coeficientes e, f e g são chamados coeficientes da segunda forma
fundamental.