Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 4. Geometria Afim: Curvas 63
Transformações e Invariantes Euclidiana Afim
Transformações
Rotação ok ok
Translação ok ok
Escala uniforme ok
Escala não-uniforme ok
Cisalhamento ok
Invariantes
Comprimento ok ok
Ângulo ok
Paralelismo ok ok
Tabela 4.1: As transformações contidas nos grupos Euclidiano e afim,
e alguns invariantes sob estes grupos.
Invariância das Derivadas
Seja α : I → R 2 curva regular e seja A : R 2 → R 2 transformação
linear afim. Se aplicarmos A em α, isto é, A ◦ α, temos que o vetor
tangente na nova curva é A ◦ α ′ . Neste caso, a derivada é dita
covariante.
Agora se tivermos com uma curva implícita definida pelo conjunto
C = {(x, y) ∈ R 2 ; f(x, y) = 0} e aplicarmos a transformação linear
afim em C, temos que
f(x, y) = 0 ⇔ {(x, y) ∈ R 2 ; f(x, y) = 0}
⇔ A.{(x, y) ∈ R 2 ; f(x, y) = 0}
⇔ {A.(x, y) ∈ R 2 ; f(x, y) = 0}
⇔ {(u, v) ∈ R 2 ; f(A −1 (x, y) T ) = 0},
daí segue que a direção do vetor normal da nova curva é dada por
A −1 (fx, fy) T , o que implica que a direção do vetor tangente é dada
por A T (−fy, fx) T . Dizemos portanto que a derivada de f é contravariante
com respeito a aplicação A se a direção do vetor tangente
da nova curva for A T (−fy, fx) T .