Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 5. Geometria Afim: Superfícies 91
Dessa forma, temos que o sinal da curvatura Gaussiana Euclidiana
K = det(lij)
EG − F 2 está relacionada com o de d = LN − M 2 . Logo,
1. K < 0 ⇐⇒ d < 0,
2. K = 0 ⇐⇒ d = 0,
3. K > 0 ⇐⇒ d > 0.
O ponto onde d < 0, d = 0 ou d > 0 é chamado, respectivamente,
ponto hiperbólico, parabólico ou elíptico. A partir de aqui vamos
desconsiderar pontos parabólicos.
5.2.3 Vetores Co-normal e Normal Afins
Os vetores co-normais e normais afins são propriedades geométricas
fundamentais para definirmos as curvaturas Gaussiana e média afins.
Inicialmente, temos que calcular o normal Euclidiano e a curvatura
Gaussiana Euclidiana. Em [Cal82] encontramos uma definição para
os vetores normais e co-normais afins, a seguir damos outra definição
que é equivalente a anterior.
Consideremos uma parametrização σ : S 2 → R 3 suave. O normal
Euclidiano N : σ(U) → S 2 ⊂ R 3 é dado por N = σu×σv
||σu×σv|| .
Relações de ortonormalidade não são preservadas sobre transformações
afins. Portanto o normal Euclidiano N é um vetor contravariante
(se 〈N, dσ〉 = 0, então 〈A −T N, Adσ〉 = 0). Portanto,
podemos definir um vetor contravariante com a mesma direção de N
chamado de co-normal afim ν que é obtido pelo rescalonamento do
vetor normal Euclidiano
ν = |K| −1/4 N, (5.4)
onde K é a curvatura Gaussiana Euclidiana. O co-normal afim satisfaz
〈ν, dσ〉 = 0 e a métrica afim satisfaz d 1/4 = ±[ν, νu, νv] 1 . Seja U
uma vizinhança de qualquer ponto p ∈ S e para qualquer q �= p ∈ U
temos que
〈ν(p), σ(q) − σ(p)〉 > 0.
1 O sinal ± depende se o ponto é elíptico ou hiperbólico. Por questão de clareza
no texto vamos considerar que estamos trabalhando em pontos elípticos