Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

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62 4.1. Invariância Afim Definição 4.1. A geometria afim de curvas planas é o estudo das propriedades destas curvas invariantes por esse grupo de transformações. Definição 4.2. Uma propriedade P é dita invarinante por A se P(A(p)) = P(p), para todo p ∈ C, onde C é uma curva. Observação 4.3. O conjunto de transformações afins forma um grupo com a operação de composição de funções. !"#$%&"' ()$*+,$%&"' -+.$,$' /*01")23' -+.$,$'' *&"4/*01")23' Figura 4.1: Transformações afins. Propriedades Básicas de Transformações Afins Transformações afins 1. levam retas em retas, 2. levam retas paralelas em retas paralelas, 50+$,6$23*#"' 3. preservam razão de comprimentos ao longo de uma reta dada.
Capítulo 4. Geometria Afim: Curvas 63 Transformações e Invariantes Euclidiana Afim Transformações Rotação ok ok Translação ok ok Escala uniforme ok Escala não-uniforme ok Cisalhamento ok Invariantes Comprimento ok ok Ângulo ok Paralelismo ok ok Tabela 4.1: As transformações contidas nos grupos Euclidiano e afim, e alguns invariantes sob estes grupos. Invariância das Derivadas Seja α : I → R 2 curva regular e seja A : R 2 → R 2 transformação linear afim. Se aplicarmos A em α, isto é, A ◦ α, temos que o vetor tangente na nova curva é A ◦ α ′ . Neste caso, a derivada é dita covariante. Agora se tivermos com uma curva implícita definida pelo conjunto C = {(x, y) ∈ R 2 ; f(x, y) = 0} e aplicarmos a transformação linear afim em C, temos que f(x, y) = 0 ⇔ {(x, y) ∈ R 2 ; f(x, y) = 0} ⇔ A.{(x, y) ∈ R 2 ; f(x, y) = 0} ⇔ {A.(x, y) ∈ R 2 ; f(x, y) = 0} ⇔ {(u, v) ∈ R 2 ; f(A −1 (x, y) T ) = 0}, daí segue que a direção do vetor normal da nova curva é dada por A −1 (fx, fy) T , o que implica que a direção do vetor tangente é dada por A T (−fy, fx) T . Dizemos portanto que a derivada de f é contravariante com respeito a aplicação A se a direção do vetor tangente da nova curva for A T (−fy, fx) T .
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