Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

102 5.5. Superfícies Implícitas
Figura 5.3: Os parabolóides elíptico e hiperbólico tem co-normal afim
apontando para o centro de cada superfície.
Esta última relação mostra que uma base local em cada ponto p
da superfície pode ser obtida por {gx, gy, ξ}. Isto segue da definição
de estruturas a partir da teoria de “moving frame”de Cartan [NS94].
Sabemos que 〈 ξ , ν 〉 = 1, 〈 ν , ξx 〉 = 〈 ν , ξy 〉 = 0. Portanto, existe
uma função λ : U → R tal que
ξ = λ (νx × νy) , com λ = [ ν, νx, νy ] −1 = d −1 /4 .
A fórmula explícita para o normal afim em função das derivadas
de g foi dada nas equações (5.7), para encontramos ξ em função de
f basta usar as equações (3.1) e de forma análoga ao cálculo destas
equações obtermos as expressões das derivadas de terceira e quarta
de g em função de f.
Exercício 5.11. Calcule as expressões dos vetores co-normal e normal
afins de uma superfície implícita.
5.5.3 Curvaturas Afins
Na geometria Euclidiana as curvaturas afins são obtidas a partir da
variação do normal afim (ver Figura 5.4). Visto que 〈 ν , ξ {x,y} 〉 = 0,
então temos que as derivadas ξ {x,y} do normal afim são ortogonais a
ν que é paralelo a N. Portanto, ξ {x,y} são tangentes a superfície.