Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

100 5.5. Superfícies Implícitas
5.5.1 Métrica Afim
A métrica afim usual neste plano tangente é a métrica de Berwald-
Blaschke, que corresponde a formas elementares de volumes de uma
curva na superfície (ver subseção 5.2.1). Ela pode ser expressa pela
forma bilinear
sendo
d −1 /4
� L M
M N
�
,
L = [ gx, gy, gxx ] = gxx(x, y) ,
M = [ gx, gy, gxy ] = gxy(x, y) ,
N = [ gx, gy, gyy ] = gyy(x, y) ,
d = LN − M 2 = gxxgyy −g 2 xy.
Ao longo do desenvolvimento teórico supomos que a métrica de
Berwald-Blaschke é não-degenerada d �= 0. Geometricamente isso
significa que a curvatura Gaussiana Euclidiana não zera. Se d > 0,
então a superfície é estritamente convexa. O elemento de área afim
da superfície é dado por
d Ā = |d|1 /4 · dx ∧ dy.
As fórmulas para a métrica no caso implícito podem ser obtidas
usando a equação (3.1), onde as derivadas de g são calculadas em
(x, y) e as de f em (x, y, g(x, y)). Em particular,
d = 1
f 4 z
�
�fyyfzz ·
− f 2 �
2
yz fx + 2 (fxzfxy − fxxfyz) fyfz +
�
fzzfxx − f 2 �
2
xz fy + 2 (fxyfyz − fyyfxz) fzfx +
�
fxxfyy − f 2 �
2
xy fz + 2 (fyzfxz − fzzfxy) fxfy
�
.