Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 2. Geometria Euclidiana: Curvas 17
Figura 2.2: Curva com auto-interseção.
Exemplo 2.4. A aplicação α definida por α(t) = � t 3 − 4t, t 2 − 4 � ,
com t ∈ R, é uma curva diferenciável parametrizada não injetiva, pois
temos α(2) = α(−2) =(0, 0) (ver Figura 2.2).
Figura 2.3: Círculo de raio 1.
Exemplo 2.5. A curva dada pela aplicação α : (0, 4π) → R 2 com
α(t) =(cos(t), sen(t)) é uma curva diferenciável, periódica e fechada,
mas não é injetiva, pois α(π) = α(3π) =(−1, 0) (ver figura 2.3).
Definição 2.6. Seja α : I ⊂ R → R 2 uma curva diferenciável parametrizada.
Dizemos que α é regular se α ′ (t) �= 0, ∀ t ∈ I. Caso
contrário, o ponto α(t) tal que α ′ (t) = 0 é singular.
2.1.2 Curvas Implícitas
Curvas implícitas podem ser descritas pela equação f(x, y) = a, onde
f : U ⊂ R 2 → R. Assim, uma curva implícita é o conjunto de pontos
C = {(x, y) ∈ U, f(x, y) = a} que satisfazem a equação.