Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 2. Geometria Euclidiana: Curvas 27
Podemos ainda dar outra interpretação geométrica para a curvatura
da curva C. Seja P um ponto em C e seja r a reta tangente da
curva em P, existe um círculo que é tangente à reta tangente em P e
que melhor aproxima a curva tal círculo chamamos de círculo osculador,
a curvatura nesse ponto é dada como o inverso do raio, ou seja,
quanto maior o raio do círculo no ponto P menor será a curvatura
nesse ponto.
Exemplo 2.12 (Círculo). Seja α : [0, 2π] → R 2 uma parametrização
do círculo dado por
� � � � ��
t t
α(t) = c + r cos , sen
r r
cujo centro é o ponto c ∈ R 2 e raio r > 0. Se tomarmos t0 = 0, temos
s(t) =
� t
0
||α ′ (u) ||du = rt, t ∈ (0, 2π].
Reparametrizamos α por β(s) = c + r � cos � � � ��
s s
r , sen r , daí
t ′ (s) = β ′′ (s) = − 1
� �
s
� �
s
��
cos , sen ,
r r r
n(s) = Jβ ′ � �
s
� �
s
��
(s) = −cos , −sen ,
r r
então κ(s) = 1/r, ∀s ∈ R.
Exercício 2.13. Seja α : I → R 2 uma curva regular definida por
α(t) = (x(t) , y(t)) , não necessariamente parametrizada pelo comprimento
de arco. Mostre que a curvatura de α em t ∈ I é dada por
κ = x′ (t) y ′′ (t) − x ′′ (t) y ′ (t)
�
(x ′2 + y ′2 ) 3
.
Exercício 2.14. Seja a elipse definida por α(t) =(acos(t) , bsen(t)),
com t ∈ I ⊂ R. Mostre que κ = ab/ � a 2 sen 2 (t) + b 2 cos 2 (t) � 3/2 .