Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

44 3.3. Plano Tangente; Vetor Normal
Proposição 3.21. Seja σ : U ⊂ R 2 → S uma parametrização de uma
superfície regular S e seja q ∈ U. O subespaço vetorial de dimensão
2 , dσq(R 2 ) ⊂ R 3 coincide com o conjunto de vetores tangentes a
curvas desenhadas sobre S passando em p.
Demonstração: A demonstração é deixada como exercício, mas a
ideia está na figura 3.9.
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O plano tangente de S em p pode também ser visto como
Tp(S) = {v, v é tangente a S em p}.
As coordenadas de um vetor w ∈ TpS na base associada a σ são
determinadas da seguinte forma. Seja β : (−ɛ, ɛ) → U uma curva
em U dada por β(t) = (u(t), v(t)) e seja α(−ɛ, ɛ) → S definida por
α(t) = σ ◦ β(t), com β(0) = q = σ −1 (p). Então
α ′ (0) = d
(σ ◦ β)
dt
= σu(q)u ′ (0) + σv(q)v ′ (0).
Assim, na base {σu(q), σv(q)} w tem coordenadas u ′ (0), v ′ (0).
Vale notar que a noção de plano tangente é transportada (preservada)
por aplicações diferenciáveis. Sejam S1 e S2 duas superfícies
regulares e seja φ : V ⊂ S1 → S2 aplicação diferenciável. Seja p ∈ V,
sabemos que todo vetor v ∈ TpS1 é o vetor velocidade α ′ (0) de uma
curva diferenciável α : (−ɛ, ɛ) → V com α(0) = p. A curva β = φ ◦ α
é tal que β(0) = φ(p) e, portanto, β ′ (0) é um vetor tangente em
T φ(p)S2.
Exercício 3.22. Dado w, como acima, mostre que o vetor β ′ (0) não
depende da escolha de α e que a aplicação dφp : TpS1 → T φ(p)S2
definida por dφp(w) = β ′ (0) é linear.
Caso implícito
Suponhamos que a superfície S seja dada por uma função implícita
diferenciável f : R 3 → R tal que a seja um valor regular de f e
S = f −1 (a), então o plano tangente da superfície é dado por
TpS = ker((df)p : R 3 → R), ∀p ∈ S.