Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

92 5.2. Superfícies Paramétricas
Esta relação faz sentido, pois σ(U) é uma superfície convexa tal que
σ(U(p)) pertence a um dos lados do plano tangente dσ(p) em p.
Como d 1/4 = [ ν, νu, νv ] �= 0, então as derivadas ν {u,v} definem
um plano próprio. O vetor normal afim pode ser obtido através do
vetor ortogonal ao plano gerado por {νu, νv}, este seria análogo ao
vetor normal Euclidiano N. Mais precisamente, o vetor normal afim
ξ é definido localmente pela relação
〈ν, ξ〉 = 1, 〈ξ, ν {u,v}〉 = 0.
O normal afim satisfaz 〈ν, ξ {u,v}〉 = 0 e d 1/4 = [ σu, σv, ξ ] . Esta
última relação mostra que uma base local em cada ponto p da superfície
pode ser obtida por {σu, σv, ξ}. Isto permite definir estruturas
a partir da teoria de Cartan dos “moving frames”. Desde que o
normal afim ξ satisfaz 〈ν, ξ〉 = 1, 〈ξ, νu〉 = 〈ξ, νv〉 = 0, temos que
existe uma função λ : U → R tal que
ξ = λ(νu × νv), com λ = [ ν, νu, νv ] −1 = d −1/4 .
Além disso, utilizando o operador de Laplace-Beltrami △g, onde
g é a métrica de Berwald-Blaschke, é possível definir (ver [Buc83]) o
normal afim por ξ = 1
2△gσ, sendo σ : S2 → R3 uma parametrização
de S, temos
ξ = 1 |LN − M
2
2 | 1/4 � �
∂ Nσu − Mσv ∂ Lσv − Mσu
√ √ + √ .
LN − M 2 ∂u LN − M 2 ∂v LN − M 2
Afirmamos que ξ não pertence ao TpS. Com efeito,
[ σu, σv, ξ ] = |LN − M 2 | 1/4 = |EG − F 2 | 1/2 ,
onde E, F e G são os coeficientes da primeira forma fundamental
Euclidiana. Como estamos desconsiderando pontos parabólicos temos
que o determinante acima é diferente de 0.
Na geometria Euclidiana o plano tem vetor normal N constante,
em particular as curvaturas são nulas e a esfera tem curvatura constante,
por comparação com a geometria afim os parabolóides têm
normal afim ξ constante e curvaturas afins nulas, já o elipsóide tem
curvatura constante.