Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma ... - Impa

Capítulo 5. Geometria Afim: Superfícies 87
Figura 5.1: Transformação afim preserva retas.
Verifica-se facilmente que T (1, 0, 0) = (a, d, g), T (0, 1, 0) = (b, e, f) e
T (0, 0, 1) = (c, f, i). Logo existe uma bijeção entre as transformações
lineares de R 3 em R 3 e as matrizes 3 × 3. Dito isso, uma extensão natural
das transformações lineares são as afins, como mostra o próximo
resultado
Proposição 5.2. A transformação T : R 3 → R 3 é afim se e só se T
é da forma T (u) = L(u) + v0, onde L é linear e v0 ∈ R 3 .
Demonstração: Suponhamos que T (u) = L(u)+v0. Vamos mostrar
que T é afim. Sejam A, B ∈ R 3 , então
T (tA + (1 − t)B) = L(tA + (1 − t)B) + v0
!
= tL(A) + tv0 + (1 − t)L(B) − tv0 + v0
= tT (A) + (1 − t)T (B).
Reciprocamente, se T é afim, definamos L(u) = T (u) − v0, onde
v0 = T (0, 0, 0) = T (0), logo basta mostrar que L é linear. Sejam
u, v ∈ R 3 e α ∈ R, então
L(αu + v) = T (αu + v) − T (0) = T (αu + v − α0) − T (0)
= αT (u) + T (v) − αT (0) − T (0)
= αL(u) + L(v).
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